На заводе работает 2 рабочих, изготавливающих спицы. Известно, что первый рабочий за час делает на 15 спиц больше, чем второй рабочий. Также первый рабочий изготавливает 180 спиц на 2 часа быстрее, чем второй рабочий, изготавливающий такое же количество спиц. Определите, сколько спиц за час изготавливает второй рабочий.

Давайте решим задачу по шагам, подробно объясняя каждое действие. Обозначим: - \( x \) — число спиц, которые делает второй рабочий за один час. - \( y \) — число спиц, которые делает первый рабочий за один час. Из условия нам дано: 1. Первый рабочий делает на 15 спиц больше, чем второй: \[ y = x + 15 \] 2. Первый рабочий изготавливает 180 спиц за 2 часа быстрее, чем второй, который изготавливает такое же количество спиц. Рассмотрим, сколько спиц каждый рабочий делает за своё время: - Первый рабочий за 2 часа делает: \[ 2y \text{ спиц} \] - Второй рабочий за то же время (если бы он делал столько же, как и первый), то есть за \( t \) часов, он сделал бы: \[ xt \text{ спиц} \] Но из условия, что второй делает такое же количество спиц за больший интервал времени (его время \( T \)), а первый за 2 часа. Нам нужно понять, за сколько времени второй рабочий делает определенное количество спиц, которое равно количеству спиц, изготовленных первым за 2 часа. Из условия, что первый рабочий изготавливает такое же количество спиц, что и второй за \(\text{т} \) часов, и что первый изготавливает на 180 спиц больше, чем второй за 2 часа: \[ 2y = \text{количество спиц, которое делает второй за \( T \) часов} \] Но есть ещё более важное условие: "Первый изготавливает 180 спиц за 2 часа быстрее" — это означает, что: - Время, за которое второй рабочий изготавливает столько же спиц, сколько делает первый за 2 часа, составляет \( T \). - И при этом, \( 2y - 180 \) — это количество спиц, которое делает второй рабочий за то же самое время, что и первый за 2 часа. Итак, сформулируем условие: \[ \text{Количество спиц первого за 2 часа} = 2y \] \[ \text{Время второго для этого количества} = T \] Из условия, что второй делает столько же спиц за \( T \), как и первый за 2 часа, и что он делает на 180 спиц меньше: \[ 2y - 180 \] Но как найти \[ T \] ? На самом деле, мы можем выразить \( T \) через скорость второго (\( x \)): \[ \text{Кол-во спиц, которое второй делает за } T \text{ часов} = xT \] Это должно быть равно количеству спиц, которое делает первый за 2 часа: \[ 2 y = x T \] Также известно, что \[ T = \frac{2 y - 180}{x} \] Но мы можем выразить \( y \) через \( x \): \[ y = x + 15 \] Подставим в \( 2 y \): \[ 2 y = 2 (x + 15) = 2x + 30 \] Теперь запишем \( T \): \[ T = \frac{2x + 30}{x} \] Также, по условию, время второго (\( T \)) показывает, сколько он делал бы спиц за это время. Тогда, если он за \( T \) часов делает \( 2 y - 180 \) спиц, то его скорость равна: \[ x = \frac{2 y - 180}{T} \] Но мы уже знаем \( 2 y = 2x + 30 \), поэтому: \[ x = \frac{2x + 30 - 180}{T} = \frac{2x - 150}{T} \] Подставим \( T = \frac{2x + 30}{x} \): \[ x = \frac{2x - 150}{\frac{2x + 30}{x}} \] Обращая дробь: \[ x = (2x - 150) \times \frac{x}{2x + 30} \] Упростим: \[ x = \frac{x (2x - 150)}{2x + 30} \] Перемножим обе части на \( 2x + 30 \): \[ x (2x + 30) = x (2x - 150) \] Если \( x \neq 0 \), то делим обе части на \( x \): \[ 2x + 30 = 2x - 150 \] Вычитаем \( 2x \): \[ 30 = -150 \] Что противоречит условиям, значит, где-то была допущена неточность в рассуждениях. Попробуем иной подход. --- **Альтернативный подход:** Пусть: - \( x \) — сколько спиц делает второй за час. - Тогда, Первый рабочий за 2 часа сделал: \[ 2 y \] А второй за то же время — \[ 2x \] условие говорит, что первый изготавливает на 180 спиц больше, чем второй за те же 2 часа: \[ 2 y = 2 x + 180 \] Из этого: \[ y = x + 90 \] Но ранее было установлено, что \( y = x + 15 \), значит: \[ x + 15 = x + 90 \] Следовательно: \[ 15 = 90 \] — невозможно! Значит, было неправильно истолковано условие. --- **Верная интерпретация условия**: > Также первый рабочий изготавливает **180 спиц на 2 часа быстрее**, чем второй рабочий, изготавливающий такое же количество спиц. Т.е.: - Пусть \( T_2 \) — время, за которое второй рабочий делает определённое количество спиц, равное тому, что первый за 2 часа. - Тогда: \[ T_1 = 2 \text{ часа} \] и у них равное количество спиц: \[ \text{Количество спиц первого за 2 часа} = 2 y \] \[ \text{Количество спиц второго за } T_2 \text{ часов} = x T_2 \] Также, что: \[ T_2 = T_1 + \Delta T \] и по условию, что первый быстрее на 2 часа, то: \[ T_2 = T_1 + 2 \] Поскольку оба делают одинаковое количество спиц, то: \[ 2 y = x T_2 \] Но \( T_2 = T_1 + 2 = 2 + 2 = 4 \) Тогда — количество спиц, которое делает второй за 4 часа: \[ x \times 4 = 2 y \] или \[ 2 y = 4 x \implies y = 2 x \] Из этого (\( y = 2 x \)) и ранее, где \( y = x + 15 \), получаем: \[ x + 15 = 2 x \] \[ 15 = 2 x - x = x \] следовательно: \[ x = 15 \] Если второй рабочий делает за час **15 спиц**, то: \[ y = x + 15 = 15 + 15 = 30 \] --- **Ответ:** **Второй рабочий за час изготавливает 15 спиц.** --- Если нужно, я могу пояснить все шаги ещё раз.