Внешний угол при одной из вершин равнобедренного треугольника АВС равен 120°. Найдите периметр треугольника АВС, если его основание равно 12 см.
Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним все шаги.
Дана:
- Внешний угол при одной из вершин равен 120°.
- Треугольник — равнобедренный.
- Основание (сторона между равными сторонами) равно 12 см.
Задача:
- Найти периметр треугольника АВС.
Шаг 1. Обозначения и значимость данных
Обозначим треугольник \( ABC \):
- \( AB = AC \) (так как треугольник равнобедренный, и базы мы не знаем)
- Основание \( BC = 12 \) см.
При этом внешний угол при одной из вершин равен 120°. Ведь внешний угол при вершине — это угол, смежный с внутренним углом у этой вершины (по внешней стороне).
Шаг 2. Анализ внешнего угла
Обозначим, что внешний угол равен 120° при вершине \( A \). Пусть он при вершине \( A \). Тогда внутренний угол при этой вершине равен:
\[ \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \]
Обратите внимание: внешний угол при вершине \( A \):
\[ \angle A_{ext} = 120^\circ, \] а внутренний угол:
\[ \angle BAC = 60^\circ. \]
Шаг 3. Использование свойств равнобедренного треугольника
Поскольку треугольник равнобедренный и внутренний угол при вершине \( A \) равен 60°, то:
- \( AB = AC \),
- \( \angle BAC = 60^\circ \).
Это важно. Значит, в треугольнике \( ABC \):
- \( \angle A = 60^\circ \),
- \( BC = 12 \) см (основание),
- \( AB = AC \) — эти два боковых ребра равны.
Шаг 4. Расчёт боковых сторон \( AB \) и \( AC \)
Рассмотрим треугольник \( ABC \):
- \( \angle A = 60^\circ \),
- \( BC = 12 \) см,
- \( AB = AC = x \) (обозначим).
Используем формулу для сторон в треугольнике с известным углом:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A. \]
Но так как \( AB = AC = x \):
\[ BC^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 60^\circ, \] \[ (12)^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{2}. \]
Поскольку \( \cos 60^\circ = 0.5 \), получаем:
\[ 144 = 2x^2 - x^2 = x^2. \]
Отсюда:
\[ x^2 = 144, \] \[ x = \sqrt{144} = 12. \]
Итак, боковые стороны равны 12 см.
Шаг 5. Итоговый периметр
Теперь все стороны известны:
- \( AB = 12 \) см,
- \( AC = 12 \) см,
- \( BC = 12 \) см.
Периметр:
\[
P = AB + BC + CA = 12 + 12 + 12 = 36 \text{ см}.
\]
Ответ:
Периметр треугольника равен 36 см.
