Внешний угол при одной из вершин равнобедренного треугольника АВС равен 120°. Найдите периметр треугольника АВС, если его основание равно 12 см.

Давайте решим задачу поэтапно и подробно объясним все шаги. **Дана:** - Внешний угол при одной из вершин равен 120°. - Треугольник — равнобедренный. - Основание (сторона между равными сторонами) равно 12 см. **Задача:** - Найти периметр треугольника АВС. --- ### Шаг 1. Обозначения и значимость данных Обозначим треугольник \( ABC \): - \( AB = AC \) (так как треугольник равнобедренный, и базы мы не знаем) - Основание \( BC = 12 \) см. При этом внешний угол при одной из вершин равен 120°. Ведь внешний угол при вершине — это угол, смежный с внутренним углом у этой вершины (по внешней стороне). --- ### Шаг 2. Анализ внешнего угла Обозначим, что внешний угол равен 120° при вершине \( A \). Пусть он при вершине \( A \). Тогда внутренний угол при этой вершине равен: \[ \angle BAC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \] Обратите внимание: внешний угол при вершине \( A \): \[ \angle A_{ext} = 120^\circ, \] а внутренний угол: \[ \angle BAC = 60^\circ. \] --- ### Шаг 3. Использование свойств равнобедренного треугольника Поскольку треугольник равнобедренный и внутренний угол при вершине \( A \) равен 60°, то: - \( AB = AC \), - \( \angle BAC = 60^\circ \). Это важно. Значит, в треугольнике \( ABC \): - \( \angle A = 60^\circ \), - \( BC = 12 \) см (основание), - \( AB = AC \) — эти два боковых ребра равны. --- ### Шаг 4. Расчёт боковых сторон \( AB \) и \( AC \) Рассмотрим треугольник \( ABC \): - \( \angle A = 60^\circ \), - \( BC = 12 \) см, - \( AB = AC = x \) (обозначим). Используем формулу для сторон в треугольнике с известным углом: \[ BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos \angle A. \] Но так как \( AB = AC = x \): \[ BC^2 = x^2 + x^2 - 2 \cdot x \cdot x \cdot \cos 60^\circ, \] \[ (12)^2 = 2x^2 - 2x^2 \cdot \frac{1}{2}. \] Поскольку \( \cos 60^\circ = 0.5 \), получаем: \[ 144 = 2x^2 - x^2 = x^2. \] Отсюда: \[ x^2 = 144, \] \[ x = \sqrt{144} = 12. \] Итак, боковые стороны равны 12 см. --- ### Шаг 5. Итоговый периметр Теперь все стороны известны: - \( AB = 12 \) см, - \( AC = 12 \) см, - \( BC = 12 \) см. Периметр: \[ P = AB + BC + CA = 12 + 12 + 12 = 36 \text{ см}. \] --- ### **Ответ:** **Периметр треугольника равен 36 см.**