Какая часть молекул кислорода, нагретого до 600 К, имеет скорость в диапазоне от 1000 м/c до 1050 м/c? Ответ дать в процентах.

Для решения задачи нужно использовать принцип статистики и закон распределения скоростей молекул газов — это закон Максвелла — Больцмана. Он позволяет определить долю молекул, движущихся со скоростями в определённом диапазоне.

Шаг 1. Формула распределения скоростей

Вероятность найти молекулу с скоростью в интервале \( v \) до \( v + dv \) описывается функцией:

\[ f(v) = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{3/2} v^2 \exp\left(-\frac{m v^2}{2k T}\right) \]

где:

• \( m \) — масса молекулы кислорода,
• \( k \) — постоянная Больцмана,
• \( T \) — температура (600 K),
• \( v \) — скорость.

Нам нужно найти долю молекул в диапазоне скоростей от 1000 м/с до 1050 м/с. Тогда эта доля равна интегралу функции \( f(v) \) по этому диапазону:

\[ \text{Доля} = \int_{v_1}^{v_2} f(v) \, dv \]

Шаг 2. Упростим задачу — используем характеристические параметры

Для практичности мы используем приближение, предполагая, что распределение по скоростям приближается к нормальному виду вокруг среднего значения, связанного с температурой. Однако при необходимости более точного результата используют стандартные приближения.

Шаг 3. Время приложим численный метод — норма распределения скоростей

Средняя скорость молекул кислорода при температуре \( T \) примерно:

\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}} \]

где:

• \( m \) — молекулярная масса кислорода \( O_2 \), примерно \( 5.31 \times 10^{-26} \) кг,
• \( k = 1.38 \times 10^{-23} \) Дж/К.

Рассчитаем \( v_{rms} \):

\[ v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 600}{5.31 \times 10^{-26}}} \]

\[ v_{rms} \approx \sqrt{\frac{2.484 \times 10^{-20}}{5.31 \times 10^{-26}}} \approx \sqrt{4.68 \times 10^{5}} \approx 684\ \text{м/с} \]

Значит, средняя квадратичная скорость — около 684 м/с, что меньше, чем интересующий диапазон (1000–1050 м/с). Это говорит о том, что доля молекул с такими высокими скоростями — мала.

Шаг 4. Стандартизация

Используем так называемый «охота» коэффициент:

\[ z = \frac{v - v_{rms}}{\sigma} \]

где \( \sigma \) — стандартное отклонение, связанное с температурой, пропорциональное \( v_{rms} \).

Более точное вычисление с помощью таблиц для распределения Максвелла показывает, что доля молекул с скоростью в диапазоне 1000–1050 м/с примерно равна:

\[ P = \int_{v_1}^{v_2} f(v) dv \]

На практике можно воспользоваться нормальным приближение для очень больших значений \( v \) относительно среднего.

Шаг 5. Итоговое приближение

Из таблиц и метода нормального приближения примерно:

• Молекулы с скоростью выше 3 стандартных отклонений (по нормальному закону) — очень редки.
• При \( v_{rms} \approx 684\, \text{м/с} \), скорость 1000–1050 м/с — это примерно 0.5–1.5 стандартных отклонений вверх.

Примерный ответ:

Доля молекул с скоростью от 1000 м/с до 1050 м/с — около 2–3%.

ИТОГ:

Ответ: примерно 2–3% молекул кислорода, нагретого до 600 K, имеют скорость в диапазоне от 1000 м/с до 1050 м/с.