В прямоугольный треугольник с прямым углом вписана окружность радиуса см. Известно, что сумма катетов равна см. Найдите . 17 Найдите площадь треугольника .
Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап.
Дано:
- Прямоугольный траеугольник с прямым углом (?), обозначим его как ABC, где угол C = 90°.
- Вписанная окружность радиуса \( r = 3 \) см.
- Сумма катетов равна \( a + b = 24 \) см.
Требуется найти площадь треугольника.
Шаг 1. Запишем известные формулы и обозначения
Обозначим:
- Катеты: \( a \) и \( b \).
- Гипотенуза: \( c \).
Известно, что: \[ a + b = 24. \] Также, поскольку это прямоугольный треугольник: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2}. \]
Шаг 2. Связь радиуса вписанной окружности с треугольником
Для прямоугольного треугольника существует формула для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2}. \] Здесь:
- \( r = 3 \),
- \( a + b = 24 \).
Подставим: \[ 3 = \frac{24 - c}{2}. \]
Решим уравнение для \( c \):
\[ 24 - c = 6, \] \[ c = 24 - 6 = 18. \]
Итак, гипотенуза \( c = 18 \) см.
Шаг 3. Сформулируем систему уравнений и найдем катеты
У нас есть: \[ a + b = 24, \] и \[ c^2 = a^2 + b^2, \] где \( c = 18 \), значит: \[ 18^2 = a^2 + b^2, \] \[ 324 = a^2 + b^2. \]
Теперь у нас есть система: \[ a + b = 24, \] \[ a^2 + b^2 = 324. \]
Шаг 4. Выразим один из катетов через другой и найдем его
Обозначим \( b = 24 - a \).
Подставим в второе уравнение: \[ a^2 + (24 - a)^2 = 324. \]
Раскроем скобки: \[ a^2 + (576 - 48a + a^2) = 324, \] \[ a^2 + 576 - 48a + a^2 = 324, \] \[ 2a^2 - 48a + 576 = 324, \] вычтем 324 из обеих частей: \[ 2a^2 - 48a + 252 = 0. \]
Разделим уравнение на 2: \[ a^2 - 24a + 126 = 0. \]
Шаг 5. Решим квадратное уравнение
Дискриминант: \[ D = (-24)^2 - 4 \times 1 \times 126 = 576 - 504 = 72. \]
Корни: \[ a = \frac{24 \pm \sqrt{72}}{2}. \]
Вычислим корень: \[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2}. \]
Значит: \[ a = \frac{24 \pm 6 \sqrt{2}}{2} = 12 \pm 3 \sqrt{2}. \]
Соответственно, катеты:
- \( a = 12 + 3 \sqrt{2} \),
- \( b = 24 - a = 12 - 3 \sqrt{2} \),
или наоборот.
Шаг 6. Найдём площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a b. \]
Подставим значения: \[ a = 12 + 3 \sqrt{2}, \] \[ b = 12 - 3 \sqrt{2}. \]
Вычислим произведение \( a \times b \): \[ a b = (12 + 3 \sqrt{2})(12 - 3 \sqrt{2}). \]
Используем разность квадратов: \[ a b = 12^2 - (3 \sqrt{2})^2 = 144 - 9 \times 2 = 144 - 18 = 126. \]
Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 126 = 63 \text{ см}^2. \]
Ответ:
Площадь треугольника равна \(\boxed{63}\) квадратных сантиметров.
