В прямоугольный треугольник с прямым углом вписана окружность радиуса см. Известно, что сумма катетов равна см. Найдите . 17 Найдите площадь треугольника .

Давайте решим задачу пошагово и подробно объясним каждый этап. **Дано:** - Прямоугольный траеугольник с прямым углом (?), обозначим его как ABC, где угол C = 90°. - Вписанная окружность радиуса \( r = 3 \) см. - Сумма катетов равна \( a + b = 24 \) см. Требуется найти площадь треугольника. --- ### Шаг 1. Запишем известные формулы и обозначения Обозначим: - Катеты: \( a \) и \( b \). - Гипотенуза: \( c \). Известно, что: \[ a + b = 24. \] Также, поскольку это прямоугольный треугольник: \[ c = \sqrt{a^2 + b^2}. \] --- ### Шаг 2. Связь радиуса вписанной окружности с треугольником Для прямоугольного треугольника существует формула для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{a + b - c}{2}. \] Здесь: - \( r = 3 \), - \( a + b = 24 \). Подставим: \[ 3 = \frac{24 - c}{2}. \] Решим уравнение для \( c \): \[ 24 - c = 6, \] \[ c = 24 - 6 = 18. \] **Итак, гипотенуза \( c = 18 \) см.** --- ### Шаг 3. Сформулируем систему уравнений и найдем катеты У нас есть: \[ a + b = 24, \] и \[ c^2 = a^2 + b^2, \] где \( c = 18 \), значит: \[ 18^2 = a^2 + b^2, \] \[ 324 = a^2 + b^2. \] Теперь у нас есть система: \[ a + b = 24, \] \[ a^2 + b^2 = 324. \] --- ### Шаг 4. Выразим один из катетов через другой и найдем его Обозначим \( b = 24 - a \). Подставим в второе уравнение: \[ a^2 + (24 - a)^2 = 324. \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (576 - 48a + a^2) = 324, \] \[ a^2 + 576 - 48a + a^2 = 324, \] \[ 2a^2 - 48a + 576 = 324, \] вычтем 324 из обеих частей: \[ 2a^2 - 48a + 252 = 0. \] Разделим уравнение на 2: \[ a^2 - 24a + 126 = 0. \] --- ### Шаг 5. Решим квадратное уравнение Дискриминант: \[ D = (-24)^2 - 4 \times 1 \times 126 = 576 - 504 = 72. \] Корни: \[ a = \frac{24 \pm \sqrt{72}}{2}. \] Вычислим корень: \[ \sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = 6 \sqrt{2}. \] Значит: \[ a = \frac{24 \pm 6 \sqrt{2}}{2} = 12 \pm 3 \sqrt{2}. \] Соответственно, катеты: - \( a = 12 + 3 \sqrt{2} \), - \( b = 24 - a = 12 - 3 \sqrt{2} \), или наоборот. --- ### Шаг 6. Найдём площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} a b. \] Подставим значения: \[ a = 12 + 3 \sqrt{2}, \] \[ b = 12 - 3 \sqrt{2}. \] Вычислим произведение \( a \times b \): \[ a b = (12 + 3 \sqrt{2})(12 - 3 \sqrt{2}). \] Используем разность квадратов: \[ a b = 12^2 - (3 \sqrt{2})^2 = 144 - 9 \times 2 = 144 - 18 = 126. \] Тогда площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times 126 = 63 \text{ см}^2. \] --- ### **Ответ:** **Площадь треугольника равна \(\boxed{63}\) квадратных сантиметров.**