в прямоугольном треугольнике точка касания вписаной окружности делит гипотенузу на отрезки 4см и 21см найдите радиус если периметр равен 56см
Дано:
- Вписанная окружность касается гипотенузы, делит её на отрезки 4 см и 21 см.
- Общий периметр треугольника равен 56 см.
- Нужно найти радиус вписанной окружности (r).
Обозначим:
- Гипотенуза: \( AB \), где \( A \) и \( B \) — точки деления гипотенузы,
- \( AP = 4 \) см, \( PB = 21 \) см, тогда \( AB = AP + PB = 4 + 21 = 25 \) см.
Обозначим:
- Катеты: \( AC = x \), \( BC = y \),
- Катеты — стороны прямоугольного треугольника.
Шаг 1. Связь между катетами и гипотенузой
Так как точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, связанные с катетами:
Из свойств вписанной окружности в прямоугольном треугольнике:
- Точки касания касаются сторон, и расстояния от вершины до точек касания связаны с катетами и гипотенузой по формуле:
\[ AP = s - a,\quad PB = s - b, \]
где \( s \) — полупериметр треугольника,
\( a, b \) — стороны треугольника,
в данном случае \( a = AC = x \), \( b = BC = y \), \( c = AB = 25 \).
Но эта формула применима, когда точка касания делит сторону, а не гипотенузу.
Однако, в прямоугольном треугольнике есть более простая закономерность.
Важно:
- Отрезки гипотенузы, на которых расположена точка касания, связаны с катетами следующим образом:
- Отрезки гипотенузы, лежащие слева и справа от точки касания, равны \( s - a \) и \( s - b \) в сумме дают гипотенузу.
Шаг 2. Используем свойства касательных и полупериметра
Обозначим:
- \( s \) — полупериметр треугольника,
- Тогда, по свойствам вписанной окружности:
- Отрезки касания равны \( s - a \), \( s - b \), и \( s - c \), где \( c \) — гипотенуза.
В нашем случае:
- \( AP = s - a \),
- \( PB = s - b \).
Но у нас заданы именно длины деления гипотенузы, то есть:
\[ AP = 4 = s - a, \] \[ PB = 21 = s - b. \]
Поскольку \( a, b \) — катеты, а гипотенуза \( c = 25 \),
следовательно:
\[ s - a = 4, \] \[ s - b = 21. \]
Тогда:
\[ a = s - 4, \] \[ b = s - 21. \]
Полупериметр \( s \) можно выразить через сумму сторон:
\[ s = \frac{a + b + c}{2}. \]
Подставим выражения для \( a \) и \( b \):
\[ s = \frac{(s - 4) + (s - 21) + 25}{2} = \frac{2s - 25 + 25}{2} = \frac{2s}{2} = s. \]
Это означает, что, по логике, получаем уравнение, которое является тождеством — вся информация не противоречива, и мы можем найти \( a \) и \( b \) по \( s \).
Но поскольку:
\[ a = s - 4, \] \[ b = s - 21, \] и катеты в прямоугольном треугольнике связаны с гипотенузой через теорему Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 25^2 = 625. \]
Подставим:
\[ (s - 4)^2 + (s - 21)^2 = 625. \]
Раскроем скобки:
\[ (s^2 - 8s + 16) + (s^2 - 42s + 441) = 625, \] \[ 2s^2 - 50s + 457 = 625, \] \[ 2s^2 - 50s + 457 - 625 = 0, \] \[ 2s^2 - 50s - 168 = 0. \]
Разделим всю уравнение на 2:
\[ s^2 - 25s - 84 = 0. \]
Решим это квадратичное уравнение:
\[ s = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \times 1 \times (-84)}}{2}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 625 + 336 = 961, \] \[ \sqrt{D} = 31. \]
Тогда:
\[ s = \frac{25 \pm 31}{2}. \]
Два варианта:
\( s = \frac{25 + 31}{2} = \frac{56}{2} = 28 \).
\( s = \frac{25 - 31}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) (отрицательный, отвергаем).
Итак, \( s = 28 \) см.
Шаг 3. Найдем катеты \( a \) и \( b \):
\[ a = s - 4 = 28 - 4 = 24, \] \[ b = s - 21 = 28 - 21 = 7. \]
Проверка через теорему Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625, \] что равно \( 25^2 \). Всё верно.
Шаг 4. Найдём радиус вписанной окружности \( r \)
Формула для радиуса вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{s}, \]
где:
- \( S \) — площадь треугольника,
- \( s \) — полупериметр.
Площадь:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 24 \times 7 = 84\, \text{см}^2. \]
Ранее нашли:
\[ s = 28\, \text{см}. \]
Итог:
\[ r = \frac{S}{s} = \frac{84}{28} = 3\, \text{см}. \]
Ответ:
Радиус вписанной окружности равен 3 см.
