В прямоугольном треугольнике точка касания вписаной окружности делит гипотенузу на отрезки 4см и 21см найдите радиус если периметр равен 56см

Дано: - Вписанная окружность касается гипотенузы, делит её на отрезки 4 см и 21 см. - Общий периметр треугольника равен 56 см. - Нужно найти радиус вписанной окружности (r). Обозначим: - Гипотенуза: \( AB \), где \( A \) и \( B \) — точки деления гипотенузы, - \( AP = 4 \) см, \( PB = 21 \) см, тогда \( AB = AP + PB = 4 + 21 = 25 \) см. Обозначим: - Катеты: \( AC = x \), \( BC = y \), - Катеты — стороны прямоугольного треугольника. --- ### Шаг 1. Связь между катетами и гипотенузой Так как точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, связанные с катетами: Из свойств вписанной окружности в прямоугольном треугольнике: - Точки касания касаются сторон, и расстояния от вершины до точек касания связаны с катетами и гипотенузой по формуле: \[ AP = s - a,\quad PB = s - b, \] где \( s \) — полупериметр треугольника, \( a, b \) — стороны треугольника, в данном случае \( a = AC = x \), \( b = BC = y \), \( c = AB = 25 \). Но эта формула применима, когда точка касания делит сторону, а не гипотенузу. Однако, в прямоугольном треугольнике есть более простая закономерность. **Важно:** - Отрезки гипотенузы, на которых расположена точка касания, связаны с катетами следующим образом: - Отрезки гипотенузы, лежащие слева и справа от точки касания, равны \( s - a \) и \( s - b \) в сумме дают гипотенузу. ### Шаг 2. Используем свойства касательных и полупериметра Обозначим: - \( s \) — полупериметр треугольника, - Тогда, по свойствам вписанной окружности: - Отрезки касания равны \( s - a \), \( s - b \), и \( s - c \), где \( c \) — гипотенуза. В нашем случае: - \( AP = s - a \), - \( PB = s - b \). Но у нас заданы именно длины деления гипотенузы, то есть: \[ AP = 4 = s - a, \] \[ PB = 21 = s - b. \] Поскольку \( a, b \) — катеты, а гипотенуза \( c = 25 \), следовательно: \[ s - a = 4, \] \[ s - b = 21. \] Тогда: \[ a = s - 4, \] \[ b = s - 21. \] Полупериметр \( s \) можно выразить через сумму сторон: \[ s = \frac{a + b + c}{2}. \] Подставим выражения для \( a \) и \( b \): \[ s = \frac{(s - 4) + (s - 21) + 25}{2} = \frac{2s - 25 + 25}{2} = \frac{2s}{2} = s. \] Это означает, что, по логике, получаем уравнение, которое является тождеством — вся информация не противоречива, и мы можем найти \( a \) и \( b \) по \( s \). Но поскольку: \[ a = s - 4, \] \[ b = s - 21, \] и катеты в прямоугольном треугольнике связаны с гипотенузой через теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 25^2 = 625. \] Подставим: \[ (s - 4)^2 + (s - 21)^2 = 625. \] Раскроем скобки: \[ (s^2 - 8s + 16) + (s^2 - 42s + 441) = 625, \] \[ 2s^2 - 50s + 457 = 625, \] \[ 2s^2 - 50s + 457 - 625 = 0, \] \[ 2s^2 - 50s - 168 = 0. \] Разделим всю уравнение на 2: \[ s^2 - 25s - 84 = 0. \] Решим это квадратичное уравнение: \[ s = \frac{25 \pm \sqrt{(-25)^2 - 4 \times 1 \times (-84)}}{2}. \] Вычислим дискриминант: \[ D = 625 + 336 = 961, \] \[ \sqrt{D} = 31. \] Тогда: \[ s = \frac{25 \pm 31}{2}. \] Два варианта: 1. \( s = \frac{25 + 31}{2} = \frac{56}{2} = 28 \). 2. \( s = \frac{25 - 31}{2} = \frac{-6}{2} = -3 \) (отрицательный, отвергаем). Итак, \( s = 28 \) см. --- ### Шаг 3. Найдем катеты \( a \) и \( b \): \[ a = s - 4 = 28 - 4 = 24, \] \[ b = s - 21 = 28 - 21 = 7. \] Проверка через теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = 24^2 + 7^2 = 576 + 49 = 625, \] что равно \( 25^2 \). Всё верно. --- ### Шаг 4. Найдём радиус вписанной окружности \( r \) Формула для радиуса вписанной окружности: \[ r = \frac{S}{s}, \] где: - \( S \) — площадь треугольника, - \( s \) — полупериметр. Площадь: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times 24 \times 7 = 84\, \text{см}^2. \] Ранее нашли: \[ s = 28\, \text{см}. \] Итог: \[ r = \frac{S}{s} = \frac{84}{28} = 3\, \text{см}. \] --- ## Ответ: **Радиус вписанной окружности равен 3 см.**