В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 10, основание 10корень2+ корень2, а угол , лежащий напротив основания, равен 135 . Найдите площадь треугольника, делённую на корень 2

Давайте разберемся с задачей пошагово. --- ### Дано: - В равнобедренном треугольнике боковая сторона = 10 - Основание = \( 10\sqrt{2} + \sqrt{2} = \sqrt{2}(10 + 1) = 11\sqrt{2} \) - Угол, лежащий напротив основания = 135° Нам нужно найти площадь треугольника, делённую на \(\sqrt{2}\). --- ### Шаг 1: Построение и основные обозначения Обозначим: - \(AB = AC = 10\) (боковые стороны) - \(BC = 11\sqrt{2}\) (основание) - Угол \(\angle ACB = 135^\circ\) Рассмотрим треугольник \(ABC\), где \(A\) — вершина, напротив основания \(BC\), а угол \(\angle A\) равен 135°. --- ### Шаг 2: Решение через формулу площади Площадь треугольника можно найти через сторону и углы: \[ S = \frac{1}{2} \times AB \times AC \times \sin \angle BAC \] или через две стороны и угол между ними. Но у нас есть угол, лежащий напротив основания, то есть \(\angle C\). Условия немного необычны, поэтому лучше использовать косинусную формулу или найти высоту для вычисления площади. --- ### Шаг 3: Вводим координаты для удобства Для простоты позиционируем треугольник на координатной плоскости. - Пусть точка \(B\) находится в \((0,0)\) - Точка \(C\) в \((11\sqrt{2}, 0)\) Так как \(A\) — вершина, боковые стороны равны 10. --- ### Шаг 4: Используем геометрию Пусть точка \(A\) находится в \ `(x, y)`. Тогда: \[ AB^2 = (x - 0)^2 + (y - 0)^2 = 10^2 = 100 \] \[ x^2 + y^2 = 100 \quad (1) \] Соответственно, \(A=(x, y)\), а также из условия, что \(AC=10\): \[ (x - 11\sqrt{2})^2 + y^2 = 100 \quad (2) \] Вычитая (2) из (1): \[ x^2 + y^2 - [(x - 11\sqrt{2})^2 + y^2] = 0 \] \[ x^2 - (x^2 - 2 \times x \times 11\sqrt{2} + (11\sqrt{2})^2) = 0 \] \[ x^2 - x^2 + 2 \times x \times 11\sqrt{2} - (11^2 \times 2) = 0 \] \[ 2 \times x \times 11\sqrt{2} = 11^2 \times 2 \] \[ 22 \sqrt{2} x = 121 \times 2 = 242 \] \[ x = \frac{242}{22 \sqrt{2}} = \frac{11}{\sqrt{2}} \] Теперь, используя \(x^2 + y^2 = 100\): \[ x^2 + y^2 = 100 \] \[ \left(\frac{11}{\sqrt{2}}\right)^2 + y^2 = 100 \] \[ \frac{121}{2} + y^2 = 100 \] \[ y^2 = 100 - \frac{121}{2} = \frac{200}{2} - \frac{121}{2} = \frac{79}{2} \] \[ y = \pm \sqrt{\frac{79}{2}} = \pm \frac{\sqrt{158}}{2} \] Рассмотрим \(y > 0\). --- ### Шаг 5: Вычисление площади Площадь треугольника по формуле: \[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h \] где \(h\) — высота, опущенная из вершины \(A\) на основание \(BC\). Высота: \[ h = y \approx \frac{\sqrt{158}}{2} \] Итак: \[ S = \frac{1}{2} \times 11 \sqrt{2} \times \frac{\sqrt{158}}{2} = \frac{11 \sqrt{2} \times \sqrt{158}}{4} \] Объединим под radicals: \[ \sqrt{2} \times \sqrt{158} = \sqrt{2 \times 158} = \sqrt{316} \] Итак, \[ S = \frac{11}{4} \times \sqrt{316} \] --- ### Итог: Площадь \(S\): \[ \boxed{ S = \frac{11}{4} \sqrt{316} } \] --- ### Шаг 6: Делим на \(\sqrt{2}\) Требуется найти площадь, делённую на \(\sqrt{2}\): \[ \frac{S}{\sqrt{2}} = \frac{\frac{11}{4}\sqrt{316}}{\sqrt{2}} = \frac{11}{4} \times \frac{\sqrt{316}}{\sqrt{2}} \] Объединяем: \[ \frac{\sqrt{316}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{316}{2}} = \sqrt{158} \] Итог: \[ \frac{S}{\sqrt{2}} = \frac{11}{4} \times \sqrt{158} \] --- ## **Ответ:** \[ \boxed{ \frac{\text{Площадь}}{\sqrt{2}} = \frac{11}{4} \sqrt{158} } \] Этот результат — искомая величина.