Давайте вместе решим задачу пошагово.
Дана задача:
Радиус вписанной окружности равен ( 8\sqrt{3} ), нужно найти сторону равностороннего треугольника.
Шаг 1. Связь радиуса вписанной окружности с характеристиками треугольника
Для равностороннего треугольника существует формула для радиуса вписанной окружности ( r ):
[
r = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}
]
где ( a ) — длина стороны треугольника.
Почему так?
Радиус вписанной окружности в равностороннем треугольнике — это радиус описанной окружности, проведённой внутри треугольника, который делит его на три равных сектора.
Шаг 2. Подставим известное значение
Дано ( r = 8\sqrt{3} ). Подставим в формулу:
[
8\sqrt{3} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}
]
Шаг 3. Решим уравнение относительно ( a )
Упростим уравнение:
[
8\sqrt{3} = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{6}
]
Умножим обе части уравнения на 6, чтобы избавиться от знаменателя:
[
6 \times 8\sqrt{3} = a \cdot \sqrt{3}
]
Вычислим левую часть:
[
48 \sqrt{3} = a \cdot \sqrt{3}
]
Теперь разделим обе части уравнения на ( \sqrt{3} ):
[
a = \frac{48 \sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 48
]
Ответ:
[
\boxed{48}
]
Длина стороны равностороннего треугольника равна 48.
