Найдите точку максимума функции y=10ln(x-2)-10x+11.
Давайте решим задачу — найти точку максимума функции \[ y = 10 \ln(x - 2) - 10x + 11 \].
Я объясню подробно, чтобы было понятно, как найти максимум этой функции.
Шаг 1. Определим область определения функции
Поскольку есть логарифм \(\ln(x - 2)\), то выражение внутри логарифма должно быть положительным:
\[ x - 2 > 0 \quad \Rightarrow \quad x > 2 \]
Значит, область определения функции: \(\boxed{(2, +\infty)}\).
Шаг 2. Найдём производную функции \( y' \)
Для поиска максимумов и минимумов используем критерий: критические точки — это точки, где производная равна нулю или не существует.
Функция: \[ y = 10 \ln(x - 2) - 10x + 11 \]
Посчитаем её производную:
\[ y' = \frac{d}{dx} \left( 10 \ln(x - 2) \right) - \frac{d}{dx} (10x) + \frac{d}{dx} (11) \]
Производная \(10 \ln(x - 2)\):
\[ 10 \cdot \frac{1}{x - 2} = \frac{10}{x - 2} \]
Производная \(-10x\):
\[ -10 \]
Производная 11:
\[ 0 \]
Итак,
\[ \boxed{ y' = \frac{10}{x - 2} - 10 } \]
Шаг 3. Найдём критические точки
Критические точки — это решения уравнения \( y' = 0 \):
\[ \frac{10}{x - 2} - 10 = 0 \]
Перенесём \(10\):
\[ \frac{10}{x - 2} = 10 \]
Умножим обе части на \(x - 2\):
\[ 10 = 10 (x - 2) \]
Разделим обе части на 10:
\[ 1 = x - 2 \]
Отсюда:
\[ x = 3 \]
Проверим, что \(x = 3\) входит в область допустимых значений: \(3 > 2\) — верно.
Шаг 4. Анализируем характер критической точки
Чтобы определить, является ли это точка минимумом или максимумом, найдём знак второй производной или сделаем знак анализа первой производной.
Рассмотрим знак \( y' \) на интервалах:
для \( x > 3 \):
\[ x - 2 > 1 \Rightarrow \frac{10}{x - 2} < 10 \Rightarrow y' < 0 \]
(так как \(\frac{10}{x-2}\) уменьшается при росте \(x\))
для \( 2 < x < 3 \):
\[ x - 2 < 1 \Rightarrow \frac{10}{x - 2} > 10 \Rightarrow y' > 0 \]
Итак, функция возрастает на интервале \((2, 3)\) и убывает на \((3, +\infty)\).
Это значит, что в точке \(x=3\) установлен максимум.
Шаг 5. Найдём значение функции в точке \(x=3\)
Подставляем \(x=3\):
\[ y(3) = 10 \ln(3 - 2) - 10 \times 3 + 11 = 10 \ln 1 - 30 + 11 \]
Знаем, что \(\ln 1 = 0\):
\[ y(3) = 0 - 30 + 11 = -19 \]
Ответ:
\[ \boxed{ \text{Точка максимума}: \quad x=3, \quad y(3) = -19 } \]
Если нужно, я могу помочь с выводами или графиками.
