В треугольнике две стороны равны 6 и 10 , а сумма углов противолежащих этим сторонам равна 120° . Найдите третью сторону треугольника

Обозначим стороны треугольника следующим образом:

• \( a = 6 \),
• \( b = 10 \),
• \( c \) — искомая третья сторона.

Пусть \( \angle A \) — против стороны \( a \), \( \angle B \) — против стороны \( b \), и \( \angle C \) — против стороны \( c \).

Дано: \( a = 6 \), \( b = 10 \), и \( \angle A + \angle B = 120^\circ \).

Из этого следует, что сумма оставшихся углов: \[ \angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ. \]

Теперь можем использовать закон косинусов для сторон:

Для стороны \( c \): \[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \angle C. \]

Подставляем значения:

\[ c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \times 6 \times 10 \times \cos 60^\circ. \]

Вычисляем:

\[ c^2 = 36 + 100 - 120 \times \frac{1}{2} = 136 - 60 = 76. \]

Следовательно:

\[ c = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}. \]

Ответ:

\[ \boxed{ c = 2 \sqrt{19} } \]