Обозначим стороны треугольника следующим образом:
- ( a = 6 ),
- ( b = 10 ),
- ( c ) — искомая третья сторона.
Пусть ( \angle A ) — против стороны ( a ),
( \angle B ) — против стороны ( b ),
и ( \angle C ) — против стороны ( c ).
Дано: ( a = 6 ), ( b = 10 ),
и ( \angle A + \angle B = 120^\circ ).
Из этого следует, что сумма оставшихся углов:
[
\angle C = 180^\circ - (\angle A + \angle B) = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ.
]
Теперь можем использовать закон косинусов для сторон:
Для стороны ( c ):
[
c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \angle C.
]
Подставляем значения:
[
c^2 = 6^2 + 10^2 - 2 \times 6 \times 10 \times \cos 60^\circ.
]
Вычисляем:
[
c^2 = 36 + 100 - 120 \times \frac{1}{2} = 136 - 60 = 76.
]
Следовательно:
[
c = \sqrt{76} = 2 \sqrt{19}.
]
Ответ:
[
\boxed{
c = 2 \sqrt{19}
}
]
