Брат с сестрой измерили шагами одно и то же расстояние, равное 108 м. Шаг брата 60 см, а шаг сестры 50 см. Сколько раз их следы совпали, не считая начальной точки?

Давайте разберемся с задачей пошагово.

Дано:

• Расстояние = 108 м
• Шаг брата = 60 см = 0,6 м
• Шаг сестры = 50 см = 0,5 м

Что нужно найти:

• Количество раз, когда следы брата и сестры совпадали, не считая начальной точки.

Шаг 1. Определим, сколько шагов сделал каждый из них

Брат: Количество шагов брата (Обозначим его как N_б): \[ N_{б} = \frac{\text{Общее расстояние}}{\text{Шаг брата}} = \frac{108}{0,6} = 180 \]

Сестра: Количество шагов сестры (N_с): \[ N_{с} = \frac{108}{0,5} = 216 \]

Шаг 2. Что значит совпадение следов?

Следы брата и сестры совпадали, когда они сделали одинаковое число своих шагов после начала. То есть, когда их "следовые точки" совпадали, они оба делали целое число шагов, и эти точки совпадения — это точки, в которых их шаги оказались на одинаковом расстоянии от начальной точки.

Обратите внимание: Следы совпадали, если после N_б шагов брата и N_с шагов сестры эти точки совпадали.

Шаг 3. Анализ условия

Пусть:

• \(k\) — число совпадений, которые мы ищем (не считая начальную точку).

Условия совпадения следов:

• После \(x\) шагов брата, он достиг расстояния: \(x \times 0,6\) м.
• После \(y\) шагов сестры, она достигла: \(y \times 0,5\) м.
• Следы совпадают, когда эти расстояния равны или совпадают с какой-то общей точкой, то есть: \[ x \times 0,6 = y \times 0,5 \] или, что то же самое: \[ \frac{x}{y} = \frac{0,5}{0,6} = \frac{5}{6} \]

Следовательно: \[ \frac{x}{y} = \frac{5}{6} \]

Это означает, что \(x\) и \(y\) — это кратные числа, пропорциональные 5 и 6. Значит, все точки совпадения — это точки, где

\[ x = 5n,\quad y = 6n,\quad n = 1, 2, 3, \dots \]

Но не все эти точки укладываются в количество шагов, сделанных каждым.

Шаг 4. Проверяем ограничения по количеству шагов

Поскольку:

• Максимум у брата — 180 шагов,
• Максимум у сестры — 216 шагов,

нужно найти все \(n\), такие что: \[ x = 5n \leq 180 \quad \Rightarrow \quad n \leq \frac{180}{5} = 36 \] \[ y = 6n \leq 216 \quad \Rightarrow \quad n \leq \frac{216}{6} = 36 \]

Таким образом, максимальное \(n\), при котором точка совпадения возможна для обоих, равно 36.

Ответ:

Количество совпадений, не считая начальной точки, равно числу целых \(n\) от 1 до 36, то есть

\[ \boxed{36} \]

Итог:

Следы брата и сестры совпадали 36 раз (не считая начального совпадения).