ответьте на
Давайте разберем задачу пошагово.
Задано исходное уравнение: \[ (x^2 + 3)^2 - 6(x^2 + 3) - 72 = 0 \]
Это уравнение содержит выражение \(x^2 + 3\). Замена переменной поможет сделать его проще.
Шаг 1. Вводим новую переменную:
Пусть \(t = x^2 + 3\).
Тогда исходное уравнение переходит в: \[ t^2 - 6t - 72 = 0 \]
Это уже стандартное квадратное уравнение относительно \(t\).
Шаг 2. Решаем уравнение относительно \(t\):
Используем формулу для решения квадратных уравнений: \[ t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где \(a=1\), \(b=-6\), \(c=-72\).
Вычисляем дискриминант: \[ D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 36 + 288 = 324 \]
Находим корни: \[ t = \frac{6 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{6 \pm 18}{2} \]
Рассмотрим оба варианта:
- \(t_1 = \frac{6 + 18}{2} = \frac{24}{2} = 12\)
- \(t_2 = \frac{6 - 18}{2} = \frac{-12}{2} = -6\)
Шаг 3. Возвращаемся к переменной \(x\):
Помним, что: \[ t = x^2 + 3 \] следовательно: \[ x^2 + 3 = 12 \quad \text{или} \quad x^2 + 3 = -6 \]
Рассмотрим каждый случай:
\(x^2 + 3 = 12\)
\[ x^2 = 12 - 3 = 9 \] \[ x = \pm 3 \]
\(x^2 + 3 = -6\)
\[ x^2 = -6 - 3 = -9 \]
Данное уравнение не имеет решений в множестве действительных чисел, так как квадрат неотрицателен. Поэтому решения только из первого уравнения.
Ответ: \[ x = \pm 3 \]
Выбираем соответствующий ответ:
Это соответствует варианту: t = x^2 + 3, так как мы производили замену переменной.
Поэтому правильный ответ:
t = x^2 + 3
Если у вас есть вопросы по конкретной части решения — скажите!
