Билет 7 1. Центральные и вписанные углы окружности. Теорема о градусной мере вписанного угла 2.Внешний угол треугольника. Теорема с доказательством

Конечно! Вот подробное решение по вашему билету 7, включающее объяснения и доказательства. --- ## 1. Центральные и вписанные углы окружности. Теорема о градусной мере вписанного угла ### Определения: - **Центральный угол** — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны — радиусы, соединяющие центр с точками на окружности. - **Вписанный угол** — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны — хордовые линии, соединяющие вершину с двумя точками окружности. ### Связь между центральным и вписанным углом: - **Теорема:** В окружности центрированный угол, опирающийся на дугу, равен вдвое меньшему вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу. ### Формулировка: Если есть дуга α, то: - **Центральный угол**, опирающийся на дугу α, равен дуге α. - Если взять вписанный угол, опирающийся на ту же дугу α, то его градусная мера равна **половине** дуги α. #### Формула: \[ \text{Вписанный угол} = \frac{1}{2} \times \text{дуга, на которую он опирается} \] --- ## 2. Внешний угол треугольника. Теорема с доказательством ### Определение: - **Внешний угол треугольника** — это угол, образуемый продолжением стороны треугольника и одной из его сторон. ### Теорема: Внешний угол треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов. **Запись:** Если внешний угол равен углу ∠A₄, а внутренние — углы ∠A, ∠B, ∠C, то: \[ ∠A₄ = ∠B + ∠C \] --- ## Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника ### 1. Построение: Рассмотрим треугольник \( ABC \). Пусть \( AD \) — продолжение стороны \( BC \), и \( ∠A₄ \) — внешний угол при вершине \( A \). ### 2. Анализ: - Угол \( ∠A₄ \) — внешний угол при вершине \( A \). - Внутренние углы треугольника — \( ∠A, ∠B, ∠C \). ### 3. Использование свойств углов: В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°: \[ ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \] При продолжении стороны \( BC \), угол \( ∠A₄ \) образуется вместе с внутренним углом \( ∠A \) и внешним углом при \( B \) или \( C \), в зависимости от условий. ### 4. Доказательство: - В треугольнике \( ABC \): \[ ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \] - Внешний угол при точке \( A \), обозначим его как \( ∠A₄ \), равен сумме двух противолежащих внутренних углов \( ∠B \) и \( ∠C \) (по свойству внешнего угла): \[ ∠A₄ = ∠B + ∠C \] ### 5. Итог: Мы доказали, что внешний угол при любой вершине треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов. --- Если нужны более подробные объяснения с рисками или конкретными примерами — скажите!