Билет 7 1. Центральные и вписанные углы окружности. Теорема о градусной мере вписанного угла 2.Внешний угол треугольника. Теорема с доказательством

Конечно! Вот подробное решение по вашему билету 7, включающее объяснения и доказательства.

1. Центральные и вписанные углы окружности. Теорема о градусной мере вписанного угла

Определения:

• Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны — радиусы, соединяющие центр с точками на окружности.
• Вписанный угол — это угол, вершина которого находится на окружности, а стороны — хордовые линии, соединяющие вершину с двумя точками окружности.

Связь между центральным и вписанным углом:

• Теорема: В окружности центрированный угол, опирающийся на дугу, равен вдвое меньшему вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.

Формулировка:

Если есть дуга α, то:

• Центральный угол, опирающийся на дугу α, равен дуге α.
• Если взять вписанный угол, опирающийся на ту же дугу α, то его градусная мера равна половине дуги α.

Формула:

\[ \text{Вписанный угол} = \frac{1}{2} \times \text{дуга, на которую он опирается} \]

2. Внешний угол треугольника. Теорема с доказательством

Определение:

• Внешний угол треугольника — это угол, образуемый продолжением стороны треугольника и одной из его сторон.

Теорема:

Внешний угол треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов.

Запись: Если внешний угол равен углу ∠A₄, а внутренние — углы ∠A, ∠B, ∠C, то: \[ ∠A₄ = ∠B + ∠C \]

Доказательство теоремы о внешнем угле треугольника

1. Построение:

Рассмотрим треугольник \( ABC \). Пусть \( AD \) — продолжение стороны \( BC \), и \( ∠A₄ \) — внешний угол при вершине \( A \).

2. Анализ:

• Угол \( ∠A₄ \) — внешний угол при вершине \( A \).
• Внутренние углы треугольника — \( ∠A, ∠B, ∠C \).

3. Использование свойств углов:

В треугольнике сумма внутренних углов равна 180°: \[ ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \]

При продолжении стороны \( BC \), угол \( ∠A₄ \) образуется вместе с внутренним углом \( ∠A \) и внешним углом при \( B \) или \( C \), в зависимости от условий.

4. Доказательство:

• В треугольнике \( ABC \): \[ ∠A + ∠B + ∠C = 180^\circ \]

• Внешний угол при точке \( A \), обозначим его как \( ∠A₄ \), равен сумме двух противолежащих внутренних углов \( ∠B \) и \( ∠C \) (по свойству внешнего угла): \[ ∠A₄ = ∠B + ∠C \]

5. Итог:

Мы доказали, что внешний угол при любой вершине треугольника равен сумме двух противолежащих внутренних углов.

Если нужны более подробные объяснения с рисками или конкретными примерами — скажите!