Дано уравнение:
[ x^2 + \frac{b}{2}x + b = 0. ]
Чтобы найти значения (b), при которых уравнение имеет ровно одно решение, рассмотрим условия для квадратичного уравнения.
Шаг 1. Общий вид и дискриминант
Общий вид уравнения:
[ ax^2 + bx + c = 0, ]
здесь:
- (a = 1),
- коэффициент при (x): (\frac{b}{2}) (обозначим его как (k = \frac{b}{2})),
- свободный член: (b).
Перепишем уравнение:
[ x^2 + kx + b = 0, ]
где (k = \frac{b}{2}).
Дискриминант:
[ D = k^2 - 4 \cdot 1 \cdot b = \left(\frac{b}{2}\right)^2 - 4b = \frac{b^2}{4} - 4b. ]
Шаг 2. Условие ровно одного решения
Квадратичное уравнение имеет ровно одно решение, если и только если:
[ D = 0. ]
Значит, решим уравнение:
[ \frac{b^2}{4} - 4b = 0. ]
Упростим:
[ \frac{b^2}{4} = 4b. ]
Умножим обе части на 4, чтобы избавиться от дроби:
[ b^2 = 16b. ]
Перенесем все в левую сторону:
[ b^2 - 16b = 0. ]
Вынесем (b) за скобки:
[ b(b - 16) = 0. ]
Отсюда получаем два решения:
[ b = 0, \quad \text{или} \quad b = 16. ]
Шаг 3. Проверка решений
При (b=0):
Уравнение: (x^2 + 0 \cdot x + 0 = 0 \Rightarrow x^2 = 0).
Есть ровно одно решение: (x=0).
— подходит.
При (b=16):
Уравнение:
[ x^2 + \frac{16}{2}x + 16 = 0, ]
[ x^2 + 8x + 16 = 0. ]
Дискриминант:
[ D = 8^2 - 4 \times 16 = 64 - 64 = 0. ]
Есть ровно одно решение:
[ x = -\frac{8}{2} = -4. ]
— подходит.
Итог:
1. Количество значений (b), при которых уравнение имеет ровно одно решение:
[\boxed{2}]
2. Все такие (b):
[\boxed{b=0,\ b=16}]
3. Решения уравнения для найденных (b):
- Для (b=0): (x=0).
- Для (b=16): (x=-4).
Если есть еще вопросы или нужно пояснение — обращайся!
