Дано:
- равнорабочные стороны: ( AB = AC = 761 )
- основание: ( BC = 78 )
Нужно найти радиус вписанной окружности ( r ).
Шаг 1: Найдём периметр ( P )
[
P = AB + AC + BC = 761 + 761 + 78 = 1600
]
Шаг 2: Найдём площадь треугольника ( S )
Рассмотрим треугольник ( ABC ). Пусть точки ( D ) — середина основания ( BC ), тогда ( D ) делит ( BC ) пополам:
[
BD = DC = \frac{78}{2} = 39
]
Множество задаёт задачу для использования свойства:
[
\text{Высота } h = \text{расстояние от вершины } A \до основания } BC
]
Так как ( \triangle ABC ) равнобедренный с равными боковыми сторонами, высота ( h ) опускается в точку ( D ), и делит ( BC ) пополам.
Обозначим ( h ) — высоту из вершины ( A ) на основание ( BC ). Тогда:
[
h = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{761^2 - 39^2}
]
Рассчитаем:
[
761^2 = 579,121
]
[
39^2 = 1,521
]
Следовательно:
[
h = \sqrt{579,121 - 1,521} = \sqrt{577,600}
]
Обозначим:
[
h = \sqrt{577,600}
]
Рассчитаем:
[
\sqrt{577,600} \approx 760.25
]
Это приближенно, можно оставить так или найти точнее (но для дальнейших целей этого достаточно).
Шаг 3: Найдём площадь треугольника ( S )
Площадь:
[
S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 78 \times 760.25
]
[
S \approx 39 \times 760.25 \approx 29,589.75
]
Шаг 4: Найдём радиус вписанной окружности ( r )
Формула для радиуса вписанной окружности:
[
r = \frac{S}{\frac{P}{2}} = \frac{S}{p}
]
где ( p = \frac{P}{2} ) — полупериметр.
[
p = \frac{1600}{2} = 800
]
Следовательно:
[
r \approx \frac{29,589.75}{800} \approx 36.99
]
Итог:
[
\boxed{
r \approx 37
}
]
Радиус вписанной окружности примерно равен 37.
