Боковые стороны равнобедренного треугольника равны 761, основание равно 78. Найдите радиус вписанной окружности.
Дано:
- равнорабочные стороны: \( AB = AC = 761 \)
- основание: \( BC = 78 \)
Нужно найти радиус вписанной окружности \( r \).
Шаг 1: Найдём периметр \( P \)
\[ P = AB + AC + BC = 761 + 761 + 78 = 1600 \]
Шаг 2: Найдём площадь треугольника \( S \)
Рассмотрим треугольник \( ABC \). Пусть точки \( D \) — середина основания \( BC \), тогда \( D \) делит \( BC \) пополам:
\[ BD = DC = \frac{78}{2} = 39 \]
Множество задаёт задачу для использования свойства:
\[ \text{Высота } h = \text{расстояние от вершины } A \до основания } BC \]
Так как \( \triangle ABC \) равнобедренный с равными боковыми сторонами, высота \( h \) опускается в точку \( D \), и делит \( BC \) пополам.
Обозначим \( h \) — высоту из вершины \( A \) на основание \( BC \). Тогда:
\[ h = \sqrt{AB^2 - BD^2} = \sqrt{761^2 - 39^2} \]
Рассчитаем:
\[ 761^2 = 579,121 \] \[ 39^2 = 1,521 \]
Следовательно:
\[ h = \sqrt{579,121 - 1,521} = \sqrt{577,600} \]
Обозначим:
\[ h = \sqrt{577,600} \]
Рассчитаем:
\[ \sqrt{577,600} \approx 760.25 \]
Это приближенно, можно оставить так или найти точнее (но для дальнейших целей этого достаточно).
Шаг 3: Найдём площадь треугольника \( S \)
Площадь:
\[ S = \frac{1}{2} \times BC \times h = \frac{1}{2} \times 78 \times 760.25 \]
\[ S \approx 39 \times 760.25 \approx 29,589.75 \]
Шаг 4: Найдём радиус вписанной окружности \( r \)
Формула для радиуса вписанной окружности:
\[ r = \frac{S}{\frac{P}{2}} = \frac{S}{p} \]
где \( p = \frac{P}{2} \) — полупериметр.
\[ p = \frac{1600}{2} = 800 \]
Следовательно:
\[ r \approx \frac{29,589.75}{800} \approx 36.99 \]
Итог:
\[ \boxed{ r \approx 37 } \]
Радиус вписанной окружности примерно равен 37.
