37. Решите неравенство: a) (2x + 1)² - (x + 1)(x - 7) < 5; 40. Решите систему неравенств: б) 2x ^ 2 - 5x + 2 > 0 x - 2 > 0;
Давайте подробно решим оба задания, чтобы было понятно, как находить решение каждого из них.
Задача 37. Решите неравенство:
\[ (2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) < 5 \]
Шаг 1. Раскроем скобки и упростим выражение
- Раскроем квадрат: \((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\)
- Раскроем произведение: \((x + 1)(x - 7) = x^2 - 7x + x - 7 = x^2 - 6x - 7\)
Запишем неравенство:
\[ 4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) < 5 \]
Шаг 2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
\[ 4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 < 5 \]
Объединим подобные члены:
\[ (4x^2 - x^2) + (4x + 6x) + (1 + 7) < 5 \]
\[ 3x^2 + 10x + 8 < 5 \]
Шаг 3. Перенесем 5 в левую часть:
\[ 3x^2 + 10x + 8 - 5 < 0 \]
\[ 3x^2 + 10x + 3 < 0 \]
Шаг 4. Решение квадратного неравенства \(3x^2 + 10x + 3 < 0\)
Найдем корни уравнения \(3x^2 + 10x + 3 = 0\):
- Используем формулу: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\)
где \(a=3\), \(b=10\), \(c=3\):
\[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} \]
\[ x = \frac{-10 \pm 8}{6} \]
- Первый корень:
\[ x = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \]
- Второй корень:
\[ x = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \]
Корни: \(-3\) и \(-\frac{1}{3}\).
Шаг 5. Анализ знака квадратичной функции
Парабола \(3x^2 + 10x + 3\) открыта вверх (так как \(a=3>0\)), следовательно, неравенство \(< 0\) выполняется между корнями.
Ответ:
\[ \boxed{ x \in (-3, -\frac{1}{3}) } \]
Итог:
Ответ задачи 37:
\[ \boxed{ x \in \left( -3, -\frac{1}{3} \right) } \]
Задача 40. Решите систему неравенств:
\[ \begin{cases} 2x^2 - 5x + 2 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \]
Шаг 1. Решим первое неравенство \(2x^2 - 5x + 2 > 0\)
- Найдём корни уравнения \(2x^2 - 5x + 2 = 0\):
\[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \]
\[ x = \frac{5 \pm 3}{4} \]
- Первый корень:
\[ x = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \]
- Второй корень:
\[ x = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \]
- Парабола \(2x^2 - 5x + 2\) открыта вверх (\\(a=2>0\)), значит, неравенство \(> 0\) выполняется вне интервала \(\left[\frac{1}{2}, 2\right]\).
Ответ:
\[ x < \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x > 2 \]
Шаг 2. Решим второе неравенство \(x - 2 > 0\):
\[ x > 2 \]
Шаг 3. Рассмотрим пересечение решений обоих неравенств:
- Первое: \(x < \frac{1}{2}\) или \(x > 2\)
- Второе: \(x > 2\)
Поскольку оба должны соблюдаться одновременно, искомое решение — это пересечение второго неравенства со частью первого, где \(x > 2\):
\[ x > 2 \]
Это соответствует только второй части первого неравенства.
Итог:
Ответ для системы 40:
\[ \boxed{ x > 2 } \]
Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайтесь!
