37. Решите неравенство: a) (2x + 1)² - (x + 1)(x - 7) < 5; 40. Решите систему неравенств: б) 2x ^ 2 - 5x + 2 > 0 x - 2 > 0;

Давайте подробно решим оба задания, чтобы было понятно, как находить решение каждого из них. --- ### Задача 37. Решите неравенство: \[ (2x + 1)^2 - (x + 1)(x - 7) < 5 \] --- #### Шаг 1. Раскроем скобки и упростим выражение - Раскроем квадрат: \((2x + 1)^2 = 4x^2 + 4x + 1\) - Раскроем произведение: \((x + 1)(x - 7) = x^2 - 7x + x - 7 = x^2 - 6x - 7\) Запишем неравенство: \[ 4x^2 + 4x + 1 - (x^2 - 6x - 7) < 5 \] --- #### Шаг 2. Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые: \[ 4x^2 + 4x + 1 - x^2 + 6x + 7 < 5 \] Объединим подобные члены: \[ (4x^2 - x^2) + (4x + 6x) + (1 + 7) < 5 \] \[ 3x^2 + 10x + 8 < 5 \] --- #### Шаг 3. Перенесем 5 в левую часть: \[ 3x^2 + 10x + 8 - 5 < 0 \] \[ 3x^2 + 10x + 3 < 0 \] --- ### Шаг 4. Решение квадратного неравенства \(3x^2 + 10x + 3 < 0\) Найдем корни уравнения \(3x^2 + 10x + 3 = 0\): - Используем формулу: \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\) где \(a=3\), \(b=10\), \(c=3\): \[ x = \frac{-10 \pm \sqrt{(10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3}}{2 \cdot 3} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 36}}{6} = \frac{-10 \pm \sqrt{64}}{6} \] \[ x = \frac{-10 \pm 8}{6} \] - Первый корень: \[ x = \frac{-10 + 8}{6} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3} \] - Второй корень: \[ x = \frac{-10 - 8}{6} = \frac{-18}{6} = -3 \] **Корни:** \(-3\) и \(-\frac{1}{3}\). --- ### Шаг 5. Анализ знака квадратичной функции Парабола \(3x^2 + 10x + 3\) открыта вверх (так как \(a=3>0\)), следовательно, неравенство \(< 0\) выполняется **между корнями**. Ответ: \[ \boxed{ x \in (-3, -\frac{1}{3}) } \] --- ## Итог: **Ответ задачи 37:** \[ \boxed{ x \in \left( -3, -\frac{1}{3} \right) } \] --- ## Задача 40. Решите систему неравенств: \[ \begin{cases} 2x^2 - 5x + 2 > 0 \\ x - 2 > 0 \end{cases} \] --- ### Шаг 1. Решим первое неравенство \(2x^2 - 5x + 2 > 0\) - Найдём корни уравнения \(2x^2 - 5x + 2 = 0\): \[ x = \frac{5 \pm \sqrt{(-5)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2}}{2 \cdot 2} = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 16}}{4} = \frac{5 \pm \sqrt{9}}{4} \] \[ x = \frac{5 \pm 3}{4} \] - Первый корень: \[ x = \frac{5 + 3}{4} = \frac{8}{4} = 2 \] - Второй корень: \[ x = \frac{5 - 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \] - Парабола \(2x^2 - 5x + 2\) открыта вверх (\\(a=2>0\)), значит, неравенство \(> 0\) выполняется **вне интервала** \(\left[\frac{1}{2}, 2\right]\). Ответ: \[ x < \frac{1}{2} \quad \text{или} \quad x > 2 \] --- ### Шаг 2. Решим второе неравенство \(x - 2 > 0\): \[ x > 2 \] --- ### Шаг 3. Рассмотрим пересечение решений обоих неравенств: - Первое: \(x < \frac{1}{2}\) или \(x > 2\) - Второе: \(x > 2\) Поскольку оба должны соблюдаться одновременно, искомое решение — это **пересечение второго неравенства со частью первого, где \(x > 2\)**: \[ x > 2 \] Это соответствует только второй части первого неравенства. --- ## Итог: **Ответ для системы 40:** \[ \boxed{ x > 2 } \] --- Если есть дополнительные вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайтесь!