Чтобы понять, на каких промежутках функция ( y = \sqrt{x} ) возрастает, давайте пошагово разберемся с её свойствами.
Шаг 1: Область определения функции
Функция ( y = \sqrt{x} ) определена при ( x \geq 0 ), так как не существует корня из отрицательного числа в множестве действительных чисел.
Шаг 2: Анализ поведения функции
Рассмотрим функцию ( y = \sqrt{x} ). Мы хотим понять, увеличивается ли она или убывает.
- Для этого вычислим её производную.
Шаг 3: Нахождение производной
Производная функции — это показатель, как быстро изменяется значение функции:
[
y' = \frac{d}{dx} \sqrt{x} = \frac{d}{dx} x^{1/2}
]
Используя правило дифференцирования степенной функции:
[
y' = \frac{1}{2} x^{-1/2} = \frac{1}{2 \sqrt{x}}
]
Шаг 4: Анализ знака производной
Теперь посмотрим на знак производной ( y' = \frac{1}{2 \sqrt{x}} ):
- Для ( x > 0 ), (\sqrt{x} > 0), значит ( y' > 0 ).
- Для ( x = 0 ), производная не определена (так как деление на ноль невозможно).
Поскольку для всех ( x > 0 ) производная положительна, значит:
- Функция ( y = \sqrt{x} ) возрастает на интервале ( (0, \infty) ).
Итог:
- Промежутки, на которых функция возрастает: (\boxed{(0, \infty)})
Обратите внимание: в точке ( x = 0 ) функция не возрастает и не убывает, так как производная не определена там.
Если нужна дополнительная помощь или объяснения — пишите!
