Игральную кость бросают дважды. Случайная величина X -произведение выпавших очков. Составьте распределение случайной величины X и найдите вероятность события 5<_ X <_16.

Давайте разберемся с задачей по шагам.

Задача: Игральную кость бросают дважды, есть случайная величина \(X\) — произведение очков двух бросков. Нужно составить распределение \(X\) и найти вероятность события \(5 \leq X \leq 16\).

---

Шаг 1. Определение исходных данных

• Каждое бросание — это случайный эксперимент с равновероятными исходами.
• Возможные значения очков при броске — от 1 до 6.
• Всего возможных исходов для двух бросков: \(6 \times 6 = 36\).

Перебираем все пары \((a, b)\), где \(a\) — результат первого броска, \(b\) — результат второго.

---

Шаг 2. Построение таблицы произведений и вероятностей

Для каждой пары \((a, b)\) найдем произведение \(X = a \times b\).

Примеры:

• если результат первого броска \(a=1\), то возможные произведения: \(1 \times 1=1\), \(1 \times 2=2\), ..., \(1 \times 6=6\).
• если \(a=2\), то произведения: \(2, 4, 6, 8, 10, 12\).

И так далее.

---

Шаг 3. Подсчет частот каждого произведения

Создаем список всех 36 пар и подсчитываем, как часто встречается каждое значение произведения.

Детальный разбор:

\(a\)	Варианты \(b\)	Произведения \(a \times b\)	Подсчет количества
1	1..6	1, 2, 3, 4, 5, 6	6
2	1..6	2, 4, 6, 8, 10, 12	6
3	1..6	3, 6, 9, 12, 15, 18	6
4	1..6	4, 8, 12, 16, 20, 24	6
5	1..6	5, 10, 15, 20, 25, 30	6
6	1..6	6, 12, 18, 24, 30, 36	6

Общий список (значения произведений и их количество):

• 1: 1 раз — (1,1)
• 2: 2 раза — (1,2), (2,1)
• 3: 2 раза — (1,3), (3,1)
• 4: 3 раза — (1,4), (2,2), (4,1)
• 5: 1 раз — (1,5)
• 6: 4 раза — (1,6), (2,3), (3,2), (6,1)
• 8: 2 раза — (2,4), (4,2)
• 9: 1 раз — (3,3)
• 10: 2 раза — (2,5), (5,2)
• 12: 4 раза — (2,6), (3,4), (4,3), (6,2)
• 15: 2 раза — (3,5), (5,3)
• 16: 1 раз — (4,4)
• 18: 2 раза — (3,6), (6,3)
• 20: 2 раза — (4,5), (5,4)
• 24: 2 раза — (4,6), (6,4)
• 25: 1 раз — (5,5)
• 30: 2 раза — (5,6), (6,5)
• 36: 1 раз — (6,6)

---

Шаг 4. Расчет вероятностей для каждого значения \(X\)

Общее число исходов — 36. Тогда вероятность каждого исхода равна \(1/36\).

Вероятность появления значения \(X = k\):

\[ P(X=k) = \frac{\text{число пар, для которых } a \times b = k}{36} \]

Запишем результаты:

\(X\)	Количество пар	\(P(X=k)\)
1	1	\(\frac{1}{36}\)
2	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
3	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
4	3	\(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\)
5	1	\(\frac{1}{36}\)
6	4	\(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
8	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
9	1	\(\frac{1}{36}\)
10	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
12	4	\(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\)
15	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
16	1	\(\frac{1}{36}\)
18	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
20	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
24	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
25	1	\(\frac{1}{36}\)
30	2	\(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\)
36	1	\(\frac{1}{36}\)

---

Шаг 5. Найти вероятность события \(5 \leq X \leq 16\)

Нужно просуммировать вероятности всех значений \(X\), лежащих в интервале [5, 16].

Значения и их вероятности:

• 5: \(\frac{1}{36}\)
• 6: \(\frac{1}{9} = \frac{4}{36}\)
• 8: \(\frac{1}{18}\)
• 9: \(\frac{1}{36}\)
• 10: \(\frac{1}{18}\)
• 12: \(\frac{1}{9} = \frac{4}{36}\)
• 15: \(\frac{1}{18}\)
• 16: \(\frac{1}{36}\)

Переведем в общие дроби для удобства:

• \(\frac{1}{36}\)

• \(\frac{1}{9} = \frac{4}{36}\)

• \(\frac{1}{18} = \frac{2}{36}\)

Теперь сложим:

\[ P(5 \leq X \leq 16) = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} \]

Суммируем числители:

\[ 1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 17 \]

Итак,

\[ P(5 \leq X \leq 16) = \frac{17}{36} \]

---

Итог:

• Распределение \(X\):

Значение \(X\)	Вероятность \(P(X=k)\)
1	\(\frac{1}{36}\)
2	\(\frac{1}{18}\)
3	\(\frac{1}{18}\)
4	\(\frac{1}{12}\)
5	\(\frac{1}{36}\)
6	\(\frac{1}{9}\)
8	\(\frac{1}{18}\)
9	\(\frac{1}{36}\)
10	\(\frac{1}{18}\)
12	\(\frac{1}{9}\)
15	\(\frac{1}{18}\)
16	\(\frac{1}{36}\)
остальные значения — вероятность 0, если не указано.

• Вероятность события \(5 \leq X \leq 16\):

\[ \boxed{\frac{17}{36}} \]

Если есть дополнительные вопросы — задавайте!