Игральную кость бросают дважды. Случайная величина X -произведение выпавших очков. Составьте распределение случайной величины X и найдите вероятность события 5<_ X <_16.

Давайте разберемся с задачей по шагам. **Задача:** Игральную кость бросают дважды, есть случайная величина \(X\) — произведение очков двух бросков. Нужно составить распределение \(X\) и найти вероятность события \(5 \leq X \leq 16\). --- ## Шаг 1. Определение исходных данных - Каждое бросание — это случайный эксперимент с равновероятными исходами. - Возможные значения очков при броске — от 1 до 6. - Всего возможных исходов для двух бросков: \(6 \times 6 = 36\). Перебираем все пары \((a, b)\), где \(a\) — результат первого броска, \(b\) — результат второго. --- ## Шаг 2. Построение таблицы произведений и вероятностей Для каждой пары \((a, b)\) найдем произведение \(X = a \times b\). **Примеры:** - если результат первого броска \(a=1\), то возможные произведения: \(1 \times 1=1\), \(1 \times 2=2\), ..., \(1 \times 6=6\). - если \(a=2\), то произведения: \(2, 4, 6, 8, 10, 12\). И так далее. --- ## Шаг 3. Подсчет частот каждого произведения Создаем список всех 36 пар и подсчитываем, как часто встречается каждое значение произведения. Детальный разбор: | \(a\) | Варианты \(b\) | Произведения \(a \times b\) | Подсчет количества | |-------|----------------|----------------------------|---------------------| | 1 | 1..6 | 1, 2, 3, 4, 5, 6 | 6 | | 2 | 1..6 | 2, 4, 6, 8, 10, 12 | 6 | | 3 | 1..6 | 3, 6, 9, 12, 15, 18 | 6 | | 4 | 1..6 | 4, 8, 12, 16, 20, 24 | 6 | | 5 | 1..6 | 5, 10, 15, 20, 25, 30 | 6 | | 6 | 1..6 | 6, 12, 18, 24, 30, 36 | 6 | Общий список (значения произведений и их количество): - 1: 1 раз — (1,1) - 2: 2 раза — (1,2), (2,1) - 3: 2 раза — (1,3), (3,1) - 4: 3 раза — (1,4), (2,2), (4,1) - 5: 1 раз — (1,5) - 6: 4 раза — (1,6), (2,3), (3,2), (6,1) - 8: 2 раза — (2,4), (4,2) - 9: 1 раз — (3,3) - 10: 2 раза — (2,5), (5,2) - 12: 4 раза — (2,6), (3,4), (4,3), (6,2) - 15: 2 раза — (3,5), (5,3) - 16: 1 раз — (4,4) - 18: 2 раза — (3,6), (6,3) - 20: 2 раза — (4,5), (5,4) - 24: 2 раза — (4,6), (6,4) - 25: 1 раз — (5,5) - 30: 2 раза — (5,6), (6,5) - 36: 1 раз — (6,6) --- ## Шаг 4. Расчет вероятностей для каждого значения \(X\) Общее число исходов — 36. Тогда вероятность каждого исхода равна \(1/36\). Вероятность появления значения \(X = k\): \[ P(X=k) = \frac{\text{число пар, для которых } a \times b = k}{36} \] Запишем результаты: | \(X\) | Количество пар | \(P(X=k)\) | |--------|------------------|-------------------------| | 1 | 1 | \(\frac{1}{36}\) | | 2 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 3 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 4 | 3 | \(\frac{3}{36} = \frac{1}{12}\) | | 5 | 1 | \(\frac{1}{36}\) | | 6 | 4 | \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\) | | 8 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 9 | 1 | \(\frac{1}{36}\) | | 10 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 12 | 4 | \(\frac{4}{36} = \frac{1}{9}\) | | 15 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 16 | 1 | \(\frac{1}{36}\) | | 18 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 20 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 24 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 25 | 1 | \(\frac{1}{36}\) | | 30 | 2 | \(\frac{2}{36} = \frac{1}{18}\) | | 36 | 1 | \(\frac{1}{36}\) | --- ## Шаг 5. Найти вероятность события \(5 \leq X \leq 16\) Нужно просуммировать вероятности всех значений \(X\), лежащих в интервале [5, 16]. Значения и их вероятности: - 5: \(\frac{1}{36}\) - 6: \(\frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) - 8: \(\frac{1}{18}\) - 9: \(\frac{1}{36}\) - 10: \(\frac{1}{18}\) - 12: \(\frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) - 15: \(\frac{1}{18}\) - 16: \(\frac{1}{36}\) Переведем в общие дроби для удобства: - \(\frac{1}{36}\) - \(\frac{1}{9} = \frac{4}{36}\) - \(\frac{1}{18} = \frac{2}{36}\) Теперь сложим: \[ P(5 \leq X \leq 16) = \frac{1}{36} + \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} + \frac{2}{36} + \frac{4}{36} + \frac{2}{36} + \frac{1}{36} \] Суммируем числители: \[ 1 + 4 + 2 + 1 + 2 + 4 + 2 + 1 = 17 \] Итак, \[ P(5 \leq X \leq 16) = \frac{17}{36} \] --- ## Итог: - **Распределение \(X\):** | Значение \(X\) | Вероятность \(P(X=k)\) | |----------------|-------------------------| | 1 | \(\frac{1}{36}\) | | 2 | \(\frac{1}{18}\) | | 3 | \(\frac{1}{18}\) | | 4 | \(\frac{1}{12}\) | | 5 | \(\frac{1}{36}\) | | 6 | \(\frac{1}{9}\) | | 8 | \(\frac{1}{18}\) | | 9 | \(\frac{1}{36}\) | | 10 | \(\frac{1}{18}\) | | 12 | \(\frac{1}{9}\) | | 15 | \(\frac{1}{18}\) | | 16 | \(\frac{1}{36}\) | | остальные значения — вероятность 0, если не указано. - **Вероятность события** \(5 \leq X \leq 16\): \[ \boxed{\frac{17}{36}} \] Если есть дополнительные вопросы — задавайте!