Давайте подробно решим задачу.
Дано:
- Всего пирожков: (20)
- Пирожков с повидлом: (7)
- Остальные: (13)
Выбирается 2 пирожка случайным образом без возвращения (предположим, что так, так как в условии не указано иное). Обозначим случайную величину (X) — это число пирожков с повидлом, выбранных из двух.
Нам нужно найти дисперсию (X).
Шаг 1: Определение распределения (X)
Возможны три варианта значения (X):
- (X=0): ни одного пирожка с повидлом
- (X=1): один пирожок с повидлом, другой без
- (X=2): оба пирожка с повидлом
Шаг 2: Вычислим вероятности для каждого значения (X)
Общее число способов выбрать 2 пирожка из 20:
[
C_{20}^{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190
]
Вероятность (P(X=0)):
Выбираем 2 пирожка без повидлом из 13:
[
C_{13}^{2} = \frac{13 \times 12}{2} = 78
]
Вероятность (P(X=2)):
Выбираем 2 пирожка с повидлом из 7:
[
C_{7}^{2} = \frac{7 \times 6}{2} = 21
]
Вероятность (P(X=1)):
Выбираем 1 пирожок с повидлом и 1 без:
[
C_{7}^{1} \times C_{13}^{1} = 7 \times 13 = 91
]
Проверим сумму вероятностей:
[
78 + 21 + 91 = 190
]
Делим на общее число способов:
[
P(X=0) = \frac{78}{190} \approx 0.4105
]
[
P(X=1) = \frac{91}{190} \approx 0.4789
]
[
P(X=2) = \frac{21}{190} \approx 0.1105
]
Шаг 3: Найдём математическое ожидание (E[X])
[
E[X] = 0 \times P(X=0) + 1 \times P(X=1) + 2 \times P(X=2)
]
[
E[X] = 0 \times 0.4105 + 1 \times 0.4789 + 2 \times 0.1105
]
[
E[X] = 0 + 0.4789 + 0.2210 = 0.6999 \approx 0.70
]
Шаг 4: Найдём (E[X^2])
[
E[X^2] = 0^2 \times P(0) + 1^2 \times P(1) + 2^2 \times P(2)
]
[
E[X^2] = 0 + 1 \times 0.4789 + 4 \times 0.1105
]
[
E[X^2] = 0 + 0.4789 + 0.4420 = 0.9209
]
Шаг 5: Найдём дисперсию (D[X]):
[
D[X] = E[X^2] - (E[X])^2
]
[
D[X] = 0.9209 - (0.6999)^2
]
[
(0.6999)^2 \approx 0.4900
]
Следовательно,
[
D[X] \approx 0.9209 - 0.4900 = 0.4309
]
Округление до сотых:
Ответ: (\boxed{0.43})
Итог:
Дисперсия случайной величины (X) равна примерно 0.43.
