Давайте подробно разберем задачу по определению массы радиоактивного препарата через 100 дней.
Дано:
- Начальная масса препарата, ( m_0 = 9, \text{кг} )
- Период полураспада, ( T_{1/2} = 74, \text{дня} )
- Время, через которое ищем массу, ( t = 100, \text{дней} )
- Постоянная Авогадро, ( N_A = 6 \times 10^{23} ) (эту постоянную здесь можно не использовать, так как задача сводится к радиоактивному распаду)
Шаг 1. Формула радиоактивного распада
Масса радиоактивного вещества после времени ( t ) можно найти по формуле:
[
m(t) = m_0 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T_{1/2}}}
]
Здесь:
- ( m_0 ) — начальная масса,
- ( T_{1/2} ) — период полураспада,
- ( t ) — время.
Шаг 2. Подставляем значения
[
m(100) = 9 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{100}{74}}
]
Рассчитаем показатель степени:
[
\frac{100}{74} \approx 1.35135
]
Тогда
[
m(100) = 9 \times \left(\frac{1}{2}\right)^{1.35135}
]
Шаг 3. Вычисление степени
Преобразуем в логарифмическую форму или используем калькулятор:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{1.35135} = 2^{-1.35135}
]
или
[
2^{-1.35135} = \frac{1}{2^{1.35135}}
]
Вычислим ( 2^{1.35135} ):
[
2^{1.35135} \approx e^{1.35135 \times \ln 2}
]
[
\ln 2 \approx 0.6931
]
Тогда:
[
1.35135 \times 0.6931 \approx 0.9354
]
Итак:
[
2^{1.35135} \approx e^{0.9354} \approx 2.548
]
Следовательно:
[
\left(\frac{1}{2}\right)^{1.35135} \approx \frac{1}{2.548} \approx 0.3926
]
Шаг 4. Итоговая масса
[
m(100) \approx 9 \times 0.3926 \approx 3.53, \text{кг}
]
Округляем до десятых:
Ответ: 3.5 кг
Если нужно более подробное объяснение или дополнительные шаги — я с радостью помогу!
