Под корнем 5х-4 прибавляют корень 3х+1, это равняется 3. Реши неравенство

Конечно! Давайте пошагово решим задачу, учитывая, что под корнем стоит выражение \(5x - 4\), и к нему прибавляется корень из \(3x + 1\), и результат равен 3. Внимание: так как в вашем условии говорится "под корнем", предполагаю, что речь идет о уравнении (или неравенстве), где эти выражения должны быть определены (то есть подкоренные выражения неотрицательны). Запишем условие в виде уравнения: \[ \sqrt{5x - 4} + \sqrt{3x + 1} = 3 \] Объясню подробнее и решу пошагово. --- ### Шаг 1: Проверка области определения Подкоренные выражения должны быть неотрицательными: \[ 5x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{4}{5} \] \[ 3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3} \] Область определения — это интервал: \[ x \geq \frac{4}{5} \] ### Шаг 2: Решение уравнения Исходное уравнение: \[ \sqrt{5x - 4} + \sqrt{3x + 1} = 3 \] Обозначим: \[ a = \sqrt{5x - 4} \] \[ b = \sqrt{3x + 1} \] Тогда уравнение ->: \[ a + b = 3 \] Также из этих обозначений выразим \(x\): \[ a^2 = 5x - 4 \] \[ b^2 = 3x + 1 \] --- ### Шаг 3: Выразим \(x\) через \(a\) и \(b\) Из первого: \[ a^2 = 5x - 4 \Rightarrow 5x = a^2 + 4 \Rightarrow x = \frac{a^2 + 4}{5} \] Из второго: \[ b^2 = 3x + 1 \Rightarrow 3x = b^2 - 1 \Rightarrow x = \frac{b^2 - 1}{3} \] Поскольку это одно и то же \(x\), получаем равенство: \[ \frac{a^2 + 4}{5} = \frac{b^2 - 1}{3} \] --- ### Шаг 4: Решение уравнения Перенесем и сократим: \[ 3(a^2 + 4) = 5(b^2 - 1) \] \[ 3a^2 + 12 = 5b^2 - 5 \] Перенесем все в одну сторону: \[ 3a^2 - 5b^2 = -17 \] Но из условия \(a + b = 3\), выразим \(b\): \[ b = 3 - a \] Подставим в уравнение: \[ 3a^2 - 5(3 - a)^2 = -17 \] Раскроем скобки: \[ 3a^2 - 5 (9 - 6a + a^2) = -17 \] Распространим: \[ 3a^2 - 45 + 30a - 5a^2 = -17 \] Объединим подобные: \[ (3a^2 - 5a^2) + 30a - 45 = -17 \] \[ -2a^2 + 30a - 45 = -17 \] Перенесем -17 в левую часть: \[ -2a^2 + 30a - 45 + 17 = 0 \] \[ -2a^2 + 30a - 28 = 0 \] Разделим на -2: \[ a^2 - 15a + 14 = 0 \] --- ### Шаг 5: Решение квадратичного уравнения Решим: \[ a^2 - 15a + 14 = 0 \] Дискриминант: \[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 225 - 56 = 169 \] Корни: \[ a = \frac{15 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{15 \pm 13}{2} \] - Первый корень: \[ a_1 = \frac{15 + 13}{2} = \frac{28}{2} = 14 \] - Второй корень: \[ a_2 = \frac{15 - 13}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] --- ### Шаг 6: Находим соответствующие \(b\) Recall, \(b = 3 - a\): - при \(a = 14\): \[ b = 3 - 14 = -11 \] Поскольку \(b = \sqrt{3x + 1} \geq 0\), это невозможно. Значит, это несоответствующее решение. - при \(a = 1\): \[ b = 3 - 1 = 2 \] Это подходит, так как \(b \geq 0\). --- ### Шаг 7: Находим \(x\) Из \(a = \sqrt{5x - 4} = 1\): \[ 5x - 4 = 1^2 = 1 \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \] Проверяем условие для \(b = \sqrt{3x + 1} = 2\): \[ 3x + 1 = 2^2 = 4 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \] Это совпадает, значит, решение \(x=1\). --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ x = 1 } \] и оно входит в область определения (так как \(x \geq \frac{4}{5}\)). --- ### Итог: Решением уравнения \(\sqrt{5x - 4} + \sqrt{3x + 1} = 3\) является \(x = 1\).