Под корнем 5х-4 прибавляют корень 3х+1, это равняется 3. Реши неравенство
Конечно! Давайте пошагово решим задачу, учитывая, что под корнем стоит выражение \(5x - 4\), и к нему прибавляется корень из \(3x + 1\), и результат равен 3. Внимание: так как в вашем условии говорится "под корнем", предполагаю, что речь идет о уравнении (или неравенстве), где эти выражения должны быть определены (то есть подкоренные выражения неотрицательны).
Запишем условие в виде уравнения:
\[ \sqrt{5x - 4} + \sqrt{3x + 1} = 3 \]
Объясню подробнее и решу пошагово.
Шаг 1: Проверка области определения
Подкоренные выражения должны быть неотрицательными:
\[ 5x - 4 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{4}{5} \] \[ 3x + 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq -\frac{1}{3} \]
Область определения — это интервал:
\[ x \geq \frac{4}{5} \]
Шаг 2: Решение уравнения
Исходное уравнение:
\[ \sqrt{5x - 4} + \sqrt{3x + 1} = 3 \]
Обозначим:
\[ a = \sqrt{5x - 4} \] \[ b = \sqrt{3x + 1} \]
Тогда уравнение ->:
\[ a + b = 3 \]
Также из этих обозначений выразим \(x\):
\[ a^2 = 5x - 4 \] \[ b^2 = 3x + 1 \]
Шаг 3: Выразим \(x\) через \(a\) и \(b\)
Из первого:
\[ a^2 = 5x - 4 \Rightarrow 5x = a^2 + 4 \Rightarrow x = \frac{a^2 + 4}{5} \]
Из второго:
\[ b^2 = 3x + 1 \Rightarrow 3x = b^2 - 1 \Rightarrow x = \frac{b^2 - 1}{3} \]
Поскольку это одно и то же \(x\), получаем равенство:
\[ \frac{a^2 + 4}{5} = \frac{b^2 - 1}{3} \]
Шаг 4: Решение уравнения
Перенесем и сократим:
\[ 3(a^2 + 4) = 5(b^2 - 1) \] \[ 3a^2 + 12 = 5b^2 - 5 \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 3a^2 - 5b^2 = -17 \]
Но из условия \(a + b = 3\), выразим \(b\):
\[ b = 3 - a \]
Подставим в уравнение:
\[ 3a^2 - 5(3 - a)^2 = -17 \]
Раскроем скобки:
\[ 3a^2 - 5 (9 - 6a + a^2) = -17 \]
Распространим:
\[ 3a^2 - 45 + 30a - 5a^2 = -17 \]
Объединим подобные:
\[ (3a^2 - 5a^2) + 30a - 45 = -17 \] \[ -2a^2 + 30a - 45 = -17 \]
Перенесем -17 в левую часть:
\[ -2a^2 + 30a - 45 + 17 = 0 \] \[ -2a^2 + 30a - 28 = 0 \]
Разделим на -2:
\[ a^2 - 15a + 14 = 0 \]
Шаг 5: Решение квадратичного уравнения
Решим:
\[ a^2 - 15a + 14 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D = (-15)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 14 = 225 - 56 = 169 \]
Корни:
\[ a = \frac{15 \pm \sqrt{169}}{2} = \frac{15 \pm 13}{2} \]
- Первый корень:
\[ a_1 = \frac{15 + 13}{2} = \frac{28}{2} = 14 \]
- Второй корень:
\[ a_2 = \frac{15 - 13}{2} = \frac{2}{2} = 1 \]
Шаг 6: Находим соответствующие \(b\)
Recall, \(b = 3 - a\):
- при \(a = 14\):
\[ b = 3 - 14 = -11 \]
Поскольку \(b = \sqrt{3x + 1} \geq 0\), это невозможно. Значит, это несоответствующее решение.
- при \(a = 1\):
\[ b = 3 - 1 = 2 \]
Это подходит, так как \(b \geq 0\).
Шаг 7: Находим \(x\)
Из \(a = \sqrt{5x - 4} = 1\):
\[ 5x - 4 = 1^2 = 1 \] \[ 5x = 5 \] \[ x = 1 \]
Проверяем условие для \(b = \sqrt{3x + 1} = 2\):
\[ 3x + 1 = 2^2 = 4 \] \[ 3x = 3 \] \[ x = 1 \]
Это совпадает, значит, решение \(x=1\).
Ответ:
\[ \boxed{ x = 1 } \]
и оно входит в область определения (так как \(x \geq \frac{4}{5}\)).
Итог:
Решением уравнения \(\sqrt{5x - 4} + \sqrt{3x + 1} = 3\) является \(x = 1\).
