Решение

Давайте подробно разберем задачу — вычисление неопределенного интеграла \[ \int \frac{(x - c)^2 \, dx}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} \] **Шаг 1: упростим выражение** Обратим внимание, что в числителе есть \((x - c)^2\) и в знаменателе — \ \((x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)\). Для удобства рекомендуем выполнить замену: \[ u = x + d \Rightarrow x = u - d \] Тогда: \[ x - c = (u - d) - c = u - (c + d) \] и \[ x^2 + 4x + 5 = (u - d)^2 + 4(u - d) + 5 \] Подставим: \[ x^2 + 4x + 5 = (u^2 - 2d u + d^2) + 4u - 4d + 5 = u^2 + (-2d + 4)u + d^2 - 4d + 5 \] Обозначим новые переменные для упрощения: \[ A = c + d \] Тогда: \[ x - c = u - A \] и интеграл принимает вид: \[ \int \frac{(u - A)^2\, du}{u^2 \cdot [u^2 + (-2d + 4) u + d^2 - 4d + 5]} \] Что облегчает анализ. Однако, поскольку интеграл сложный, есть смысл применить разложение или искать другую замену. --- **Шаг 2: разложение в сумму частных дробей** Рассмотрим исходный интеграл: \[ \int \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} dx \] Образец подхода — распишем как сумму дробей: \[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} \] Для этого: - Обозначим: \[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} \] - Уравнение сводится к: \[ (x - c)^2 = A(x + d)(x^2 + 4x + 5) + B(x^2 + 4x + 5) + (C x + D)(x + d)^2 \] - Раскроем скобки и соберем подобные: _Lевая часть:_ \[ (x - c)^2 = x^2 - 2 c x + c^2 \] _Правая часть:_ \[ A(x + d)(x^2 + 4x + 5) = A [x (x^2 + 4x + 5) + d (x^2 + 4x + 5)] \] \[ = A [x^3 + 4x^2 + 5x + d x^2 + 4 d x + 5 d] \] \[ = A x^3 + A (4 + d) x^2 + A (5 + 4 d) x + 5 d A \] Следующая часть: \[ B (x^2 + 4x + 5) = B x^2 + 4 B x + 5 B \] И последняя: \[ (C x + D)(x + d)^2 = (C x + D) (x^2 + 2 d x + d^2) \] Раскроем: \[ C x (x^2 + 2 d x + d^2) + D (x^2 + 2 d x + d^2) \] \[ = C x^3 + 2 C d x^2 + C d^2 x + D x^2 + 2 D d x + D d^2 \] Общий вид правой части: \[ A x^3 + A (4 + d) x^2 + A (5 + 4 d) x + 5 d A + B x^2 + 4 B x + 5 B + C x^3 + 2 C d x^2 + C d^2 x + D x^2 + 2 D d x + D d^2 \] Группируем по степеням \(x^3, x^2, x, константа\): - \(x^3\): \[ A x^3 + C x^3 = (A + C) x^3 \] - \(x^2\): \[ A (4 + d) x^2 + B x^2 + 2 C d x^2 + D x^2 = [A (4 + d) + B + 2 C d + D] x^2 \] - \(x\): \[ A (5 + 4 d) x + 4 B x + C d^2 x + 2 D d x = [A (5 + 4 d) + 4 B + C d^2 + 2 D d] x \] - Свободный член: \[ 5 d A + 5 B + D d^2 \] Теперь приравним это к левой части: \[ x^2 - 2 c x + c^2 \] Это означает, что коэффициенты должны совпадать: 1. Коэффициент при \(x^3\): \[ A + C = 0 \] 2. Коэффициент при \(x^2\): \[ A (4 + d) + B + 2 C d + D = 1 \] 3. Коэффициент при \(x\): \[ A (5 + 4 d) + 4 B + C d^2 + 2 D d = - 2 c \] 4. Свободный член: \[ 5 d A + 5 B + D d^2 = c^2 \] Из первого уравнения: \[ C = -A \] Подставим в остальные уравнения для выражения. --- **Шаг 3: Решение системы** Подставим \(C = -A\): Уравнение 2: \[ A (4 + d) + B + 2(-A) d + D = 1 \] \[ A (4 + d - 2 d) + B + D = 1 \] \[ A (4 - d) + B + D = 1 \] Уравнение 3: \[ A (5 + 4 d) + 4 B + (-A) d^2 + 2 D d = - 2 c \] \[ A (5 + 4 d - d^2) + 4 B + 2 D d = - 2 c \] Уравнение 4: \[ 5 d A + 5 B + D d^2 = c^2 \] Это система с тремя неизвестными (\(A,B,D\)). Решая ее, получим значения для разложения. --- **Шаг 4: итог** После получения коэффициентов, интеграл разбивается на сумму трех интегралов: 1. \(\int \frac{A}{x + d} dx\) 2. \(\int \frac{B}{(x + d)^2} dx\) 3. \(\int \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} dx\) Обратите внимание, что: \[ \int \frac{A}{x + d} dx = A \ln|x + d| + C_1 \] \[ \int \frac{B}{(x + d)^2} dx = - \frac{B}{x + d} + C_2 \] Для integrала с квадратным выражением: \[ \int \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} dx \] следует упростить знаменатель, сделав полное квадратирование: \[ x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \] Переходим к замене: \[ t = x + 2 \] Тогда: \[ x = t - 2 \] и: \[ C x + D = C (t - 2) + D