Решение

Давайте подробно разберем задачу — вычисление неопределенного интеграла

\[ \int \frac{(x - c)^2 \, dx}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} \]

Шаг 1: упростим выражение

Обратим внимание, что в числителе есть \((x - c)^2\) и в знаменателе — \ \((x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)\).

Для удобства рекомендуем выполнить замену:
\[ u = x + d \Rightarrow x = u - d \] Тогда:
\[ x - c = (u - d) - c = u - (c + d) \] и
\[ x^2 + 4x + 5 = (u - d)^2 + 4(u - d) + 5 \]

Подставим: \[ x^2 + 4x + 5 = (u^2 - 2d u + d^2) + 4u - 4d + 5 = u^2 + (-2d + 4)u + d^2 - 4d + 5 \]

Обозначим новые переменные для упрощения:
\[ A = c + d \]

Тогда:
\[ x - c = u - A \] и интеграл принимает вид: \[ \int \frac{(u - A)^2\, du}{u^2 \cdot [u^2 + (-2d + 4) u + d^2 - 4d + 5]} \]

Что облегчает анализ. Однако, поскольку интеграл сложный, есть смысл применить разложение или искать другую замену.

---

Шаг 2: разложение в сумму частных дробей

Рассмотрим исходный интеграл: \[ \int \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} dx \]

Образец подхода — распишем как сумму дробей: \[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} \]

Для этого:

• Обозначим: \[ \frac{(x - c)^2}{(x + d)^2 (x^2 + 4x + 5)} = \frac{A}{x + d} + \frac{B}{(x + d)^2} + \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} \]

• Уравнение сводится к: \[ (x - c)^2 = A(x + d)(x^2 + 4x + 5) + B(x^2 + 4x + 5) + (C x + D)(x + d)^2 \]

• Раскроем скобки и соберем подобные:

Lевая часть: \[ (x - c)^2 = x^2 - 2 c x + c^2 \]

Правая часть: \[ A(x + d)(x^2 + 4x + 5) = A [x (x^2 + 4x + 5) + d (x^2 + 4x + 5)] \] \[ = A [x^3 + 4x^2 + 5x + d x^2 + 4 d x + 5 d] \] \[ = A x^3 + A (4 + d) x^2 + A (5 + 4 d) x + 5 d A \]

Следующая часть: \[ B (x^2 + 4x + 5) = B x^2 + 4 B x + 5 B \]

И последняя: \[ (C x + D)(x + d)^2 = (C x + D) (x^2 + 2 d x + d^2) \] Раскроем: \[ C x (x^2 + 2 d x + d^2) + D (x^2 + 2 d x + d^2) \] \[ = C x^3 + 2 C d x^2 + C d^2 x + D x^2 + 2 D d x + D d^2 \]

Общий вид правой части: \[ A x^3 + A (4 + d) x^2 + A (5 + 4 d) x + 5 d A + B x^2 + 4 B x + 5 B + C x^3 + 2 C d x^2 + C d^2 x + D x^2 + 2 D d x + D d^2 \]

Группируем по степеням \(x^3, x^2, x, константа\):

• \(x^3\): \[ A x^3 + C x^3 = (A + C) x^3 \]

• \(x^2\): \[ A (4 + d) x^2 + B x^2 + 2 C d x^2 + D x^2 = [A (4 + d) + B + 2 C d + D] x^2 \]

• \(x\): \[ A (5 + 4 d) x + 4 B x + C d^2 x + 2 D d x = [A (5 + 4 d) + 4 B + C d^2 + 2 D d] x \]

• Свободный член: \[ 5 d A + 5 B + D d^2 \]

Теперь приравним это к левой части: \[ x^2 - 2 c x + c^2 \]

Это означает, что коэффициенты должны совпадать:

1. Коэффициент при \(x^3\): \[ A + C = 0 \]
2. Коэффициент при \(x^2\): \[ A (4 + d) + B + 2 C d + D = 1 \]
3. Коэффициент при \(x\): \[ A (5 + 4 d) + 4 B + C d^2 + 2 D d = - 2 c \]
4. Свободный член: \[ 5 d A + 5 B + D d^2 = c^2 \]

Из первого уравнения: \[ C = -A \] Подставим в остальные уравнения для выражения.

---

Шаг 3: Решение системы

Подставим \(C = -A\):

Уравнение 2: \[ A (4 + d) + B + 2(-A) d + D = 1 \] \[ A (4 + d - 2 d) + B + D = 1 \] \[ A (4 - d) + B + D = 1 \]

Уравнение 3: \[ A (5 + 4 d) + 4 B + (-A) d^2 + 2 D d = - 2 c \] \[ A (5 + 4 d - d^2) + 4 B + 2 D d = - 2 c \]

Уравнение 4: \[ 5 d A + 5 B + D d^2 = c^2 \]

Это система с тремя неизвестными (\(A,B,D\)). Решая ее, получим значения для разложения.

---

Шаг 4: итог

После получения коэффициентов, интеграл разбивается на сумму трех интегралов:

1. \(\int \frac{A}{x + d} dx\)
2. \(\int \frac{B}{(x + d)^2} dx\)
3. \(\int \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} dx\)

Обратите внимание, что: \[ \int \frac{A}{x + d} dx = A \ln|x + d| + C_1 \] \[ \int \frac{B}{(x + d)^2} dx = - \frac{B}{x + d} + C_2 \]

Для integrала с квадратным выражением: \[ \int \frac{C x + D}{x^2 + 4x + 5} dx \] следует упростить знаменатель, сделав полное квадратирование: \[ x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \]

Переходим к замене: \[ t = x + 2 \] Тогда: \[ x = t - 2 \] и: [ C x + D = C (t - 2) + D