Рассмотрим задачу: игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет нечётное число. Нужно найти вероятность того, что для этого потребуется не более трёх бросков.
Шаг 1: Вероятности для одного броска
На стандартном кубике:
- чисел нечётных: 1, 3, 5 (итого 3 числа)
- чисел чётных: 2, 4, 6 (тоже 3 числа)
Вероятность выпадения нечётного числа на один бросок:
[
P(\text{нечётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}
]
Вероятность выпадения чётного числа:
[
P(\text{чётное}) = \frac{1}{2}
]
Шаг 2: Изучение ситуации
Нам важно, что подбрасываем кубик до получения первого нечётного числа, и рассматриваем случаи, при которых это происходит за 1, 2 или 3 броска.
Обозначим события:
- (A_1): нечётное число выпало при первом броске
- (A_2): нечётное число выпало при втором броске (при этом первый — чётный, а второй — нечётный)
- (A_3): нечётное число выпало при третьем броске (при этом первые два — чётные, а третий — нечётный)
Шаг 3: Расчет вероятностей данных событий
Вероятность, что первая попытка успешна (является нечётной):
[
P(A_1) = \frac{1}{2}
]
Вероятность, что первая попытка не удалась (чётное), а вторая — удалась:
[
P(A_2) = P(\text{чётное в первом} ) \times P(\text{нечётное во втором}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}
]
Аналогично для третьего броска:
[
P(A_3) = P(\text{чётное в первых двух}) \times P(\text{нечётное в третьем}) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}
]
Шаг 4: Общая вероятность
Нам нужно найти вероятность, что первый успех произойдет не позже 3-го броска:
[
P(\text{не более 3 бросков}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3)
]
Подставим значения:
[
P = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8}
]
Ответ:
[
\boxed{\frac{7}{8}}
]
Вероятность того, что для получения первого нечётного числа потребуется не более трёх бросков, равна 7/8.
