Игральный кубик подбрасывают до тех пор, пока не выпадет нечётное число. Какова вероятность, что для этого понадобится не более трёх подбрасываний?
Рассмотрим задачу: игральный кубик бросают до тех пор, пока не выпадет нечётное число. Нужно найти вероятность того, что для этого потребуется не более трёх бросков.
Шаг 1: Вероятности для одного броска
На стандартном кубике:
- чисел нечётных: 1, 3, 5 (итого 3 числа)
- чисел чётных: 2, 4, 6 (тоже 3 числа)
Вероятность выпадения нечётного числа на один бросок: \[ P(\text{нечётное}) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \]
Вероятность выпадения чётного числа: \[ P(\text{чётное}) = \frac{1}{2} \]
Шаг 2: Изучение ситуации
Нам важно, что подбрасываем кубик до получения первого нечётного числа, и рассматриваем случаи, при которых это происходит за 1, 2 или 3 броска.
Обозначим события:
- \(A_1\): нечётное число выпало при первом броске
- \(A_2\): нечётное число выпало при втором броске (при этом первый — чётный, а второй — нечётный)
- \(A_3\): нечётное число выпало при третьем броске (при этом первые два — чётные, а третий — нечётный)
Шаг 3: Расчет вероятностей данных событий
Вероятность, что первая попытка успешна (является нечётной): \[ P(A_1) = \frac{1}{2} \]
Вероятность, что первая попытка не удалась (чётное), а вторая — удалась: \[ P(A_2) = P(\text{чётное в первом} ) \times P(\text{нечётное во втором}) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \]
Аналогично для третьего броска: \[ P(A_3) = P(\text{чётное в первых двух}) \times P(\text{нечётное в третьем}) = \left(\frac{1}{2} \times \frac{1}{2}\right) \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \]
Шаг 4: Общая вероятность
Нам нужно найти вероятность, что первый успех произойдет не позже 3-го броска: \[ P(\text{не более 3 бросков}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) \]
Подставим значения: \[ P = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} = \frac{4}{8} + \frac{2}{8} + \frac{1}{8} = \frac{7}{8} \]
Ответ:
\[ \boxed{\frac{7}{8}} \]
Вероятность того, что для получения первого нечётного числа потребуется не более трёх бросков, равна 7/8.
