(4-x) (3x+6)<0
Давайте решим неравенство \((4 - x)(3x + 6) < 0\), подробно объясняя каждый шаг.
Шаг 1. Раскроем скобки и упростим выражение
Выражение уже раскладывается в произведение двух выражений: \((4 - x)\) и \((3x + 6)\).
Шаг 2. Найдём нули каждого множителя
Чтобы понять, где произведение отрицательное, нужно найти нули каждого множителя:
- Первый множитель: \(4 - x = 0 \Rightarrow x = 4\)
- Второй множитель: \(3x + 6 = 0 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\)
Итак, нули: \(x = 4\) и \(x = -2\).
Шаг 3. Определим знаки множителей на промежутках
Разделим числовую ось по точкам \(x = -2\) и \(x = 4\). Получим три промежутка:
- \((- \infty, -2)\)
- \((-2, 4)\)
- \((4, +\infty)\)
Теперь определим знак каждого множителя на каждом промежутке.
Множитель 1: \(4 - x\)
- Для \(x < 4\): \(4 - x > 0\)
- Для \(x > 4\): \(4 - x < 0\)
Множитель 2: \(3x + 6\)
- Для \(x < -2\): \(3x + 6 < 0\)
- Для \(x > -2\): \(3x + 6 > 0\)
Шаг 4. Анализируем знаки на каждом промежутке
Промежуток \((- \infty, -2)\):
- \(4 - x\): так как \(x < 4\), значит \(4 - x > 0\)
- \(3x + 6\): так как \(x < -2\), \(3x + 6 < 0\)
Произведение: \((+)\) и \(( - ) \Rightarrow \) знак произведения \(-\).
Промежуток \((-2, 4)\):
- \(4 - x > 0\) (так как \(x < 4\))
- \(3x + 6 > 0\) (так как \(x > -2\))
Произведение: \( (+) \) и \( (+) \Rightarrow \) знак \(\+ \).
Промежуток \((4, +\infty)\):
- \(4 - x < 0\)
- \(3x + 6 > 0\)
Произведение: \(( - ) \) и \( (+) \Rightarrow \) знак \(-\).
Шаг 5. Определение решения
Нам нужно найти промежутки, где произведение меньше нуля (\(< 0\)).
Значит, ищем те промежутки, где знак произведения \(< 0\).
Из анализа:
- \((- \infty, -2)\): произведение отрицательное \(\Rightarrow\) подходит
- \((-2, 4)\): произведение положительное \(\Rightarrow\) не подходит
- \((4, +\infty)\): произведение отрицательное \(\Rightarrow\) подходит
Итоговое решение:
\[ \boxed{ x \in (-\infty, -2) \cup (4, +\infty) } \]
Это решение: все значения \(x\), для которых исходное неравенство выполняется.
Если есть вопросы или нужно более детальное объяснение, я готов помочь!
