решите систему уравнений 3х²-2у=1 2х²-у²=1
Давайте решим систему уравнений:
- \( 3x^2 - 2y = 1 \)
- \( 2x^2 - y^2 = 1 \)
Цель — понять пошаговое решение.
Шаг 1. Выразим \( y \) из первого уравнения
Из первого уравнения:
\[ 3x^2 - 2y = 1 \]
Выразим \( y \):
\[ 2y = 3x^2 - 1 \]
\[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \]
Шаг 2. Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение
Во второе уравнение подставляем \( y = \frac{3x^2 - 1}{2} \):
\[ 2x^2 - y^2 = 1 \]
Подставляем:
\[ 2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 \]
Шаг 3. Раскроем скобки и упростим
Раскроем квадрат:
\[ \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} \]
Запишем уравнение:
\[ 2x^2 - \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} = 1 \]
Умножим всю систему уравнений на 4, чтобы избавиться от дробей:
\[ 4 \cd0: 8x^2 - (3x^2 - 1)^2 = 4 \]
Шаг 4. Раскроем квадрат в скобках
\((3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1\)
Подставим обратно:
\[ 8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4 \]
Раскроем скобки и упростим:
\[ 8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4 \]
Объединим подобные слагаемые:
\[ (-9x^4) + (8x^2 + 6x^2) - 1 = 4 \]
\[ -9x^4 + 14x^2 - 1 = 4 \]
Перенесем 4 в левую часть:
\[ -9x^4 + 14x^2 - 1 - 4 = 0 \]
\[ -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0 \]
Шаг 5. Введем замену: \( t = x^2 \)
Тогда уравнение приобретает вид:
\[ -9t^2 + 14t - 5 = 0 \]
Или умножим на -1 для удобства:
\[ 9t^2 - 14t + 5 = 0 \]
Шаг 6. Решим квадратное уравнение
По формуле:
\[ t = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5}}{2 \cdot 9} \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 196 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 \]
Найдем \( t \):
\[ t = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{18} \]
\[ t = \frac{14 \pm 4}{18} \]
Два варианта:
\( t = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1 \)
\( t = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \)
Шаг 7. Вернемся к \( x \)
Поскольку \( t = x^2 \):
- Для \( t = 1 \):
\[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \]
- Для \( t = \frac{5}{9} \):
\[ x^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \]
Шаг 8. Найдем соответствующие \( y \)
Используем выражение из первого уравнения:
\[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \]
Подставим значения \( x^2 \):
- Для \( x = 1 \) или \( -1 \):
\[ y = \frac{3 \cdot 1 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \]
Аналогично для \( x = -1 \):
\[ y = 1 \]
- Для \( x = \frac{\sqrt{5}}{3} \):
\[ y = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - \frac{9}{9}}{2} = \frac{\frac{6}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \]
- Для \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \), получаем тот же \( y \):
\[ y = \frac{1}{3} \]
Ответ:
Общий набор решений:
\[ \boxed{ \begin{cases} x = \pm 1,\quad y = 1 \\ x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3},\quad y = \frac{1}{3} \end{cases} } \]
Это все решения данной системы уравнений.
