Решите систему уравнений 3х²-2у=1 2х²-у²=1

Давайте решим систему уравнений: 1) \( 3x^2 - 2y = 1 \) 2) \( 2x^2 - y^2 = 1 \) Цель — понять пошаговое решение. --- **Шаг 1. Выразим \( y \) из первого уравнения** Из первого уравнения: \[ 3x^2 - 2y = 1 \] Выразим \( y \): \[ 2y = 3x^2 - 1 \] \[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \] --- **Шаг 2. Подставим выражение для \( y \) во второе уравнение** Во второе уравнение подставляем \( y = \frac{3x^2 - 1}{2} \): \[ 2x^2 - y^2 = 1 \] Подставляем: \[ 2x^2 - \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = 1 \] --- **Шаг 3. Раскроем скобки и упростим** Раскроем квадрат: \[ \left(\frac{3x^2 - 1}{2}\right)^2 = \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} \] Запишем уравнение: \[ 2x^2 - \frac{(3x^2 - 1)^2}{4} = 1 \] Умножим всю систему уравнений на 4, чтобы избавиться от дробей: \[ 4 \cd0: 8x^2 - (3x^2 - 1)^2 = 4 \] --- **Шаг 4. Раскроем квадрат в скобках** \((3x^2 - 1)^2 = 9x^4 - 6x^2 + 1\) Подставим обратно: \[ 8x^2 - (9x^4 - 6x^2 + 1) = 4 \] Раскроем скобки и упростим: \[ 8x^2 - 9x^4 + 6x^2 - 1 = 4 \] Объединим подобные слагаемые: \[ (-9x^4) + (8x^2 + 6x^2) - 1 = 4 \] \[ -9x^4 + 14x^2 - 1 = 4 \] Перенесем 4 в левую часть: \[ -9x^4 + 14x^2 - 1 - 4 = 0 \] \[ -9x^4 + 14x^2 - 5 = 0 \] --- **Шаг 5. Введем замену: \( t = x^2 \)** Тогда уравнение приобретает вид: \[ -9t^2 + 14t - 5 = 0 \] Или умножим на -1 для удобства: \[ 9t^2 - 14t + 5 = 0 \] --- **Шаг 6. Решим квадратное уравнение** По формуле: \[ t = \frac{14 \pm \sqrt{(-14)^2 - 4 \cdot 9 \cdot 5}}{2 \cdot 9} \] Вычислим дискриминант: \[ D = 196 - 4 \cdot 9 \cdot 5 = 196 - 180 = 16 \] Найдем \( t \): \[ t = \frac{14 \pm \sqrt{16}}{18} \] \[ t = \frac{14 \pm 4}{18} \] Два варианта: 1) \( t = \frac{14 + 4}{18} = \frac{18}{18} = 1 \) 2) \( t = \frac{14 - 4}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9} \) --- **Шаг 7. Вернемся к \( x \)** Поскольку \( t = x^2 \): - Для \( t = 1 \): \[ x^2 = 1 \Rightarrow x = \pm 1 \] - Для \( t = \frac{5}{9} \): \[ x^2 = \frac{5}{9} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3} \] --- **Шаг 8. Найдем соответствующие \( y \)** Используем выражение из первого уравнения: \[ y = \frac{3x^2 - 1}{2} \] Подставим значения \( x^2 \): - Для \( x = 1 \) или \( -1 \): \[ y = \frac{3 \cdot 1 - 1}{2} = \frac{3 - 1}{2} = 1 \] Аналогично для \( x = -1 \): \[ y = 1 \] - Для \( x = \frac{\sqrt{5}}{3} \): \[ y = \frac{3 \cdot \frac{5}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - 1}{2} = \frac{\frac{15}{9} - \frac{9}{9}}{2} = \frac{\frac{6}{9}}{2} = \frac{\frac{2}{3}}{2} = \frac{2/3}{2} = \frac{2}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{3} \] - Для \( x = -\frac{\sqrt{5}}{3} \), получаем тот же \( y \): \[ y = \frac{1}{3} \] --- **Ответ:** Общий набор решений: \[ \boxed{ \begin{cases} x = \pm 1,\quad y = 1 \\ x = \pm \frac{\sqrt{5}}{3},\quad y = \frac{1}{3} \end{cases} } \] Это все решения данной системы уравнений.