Я вижу, что в вашем сообщении присутствуют два задания: одно по статистике по температуре в Воркуте и другое о проверке автоматов на шоколадной фабрике. Так как речь идет о двух заданиях, я подготовлю для каждого из них подробное решение. Начну со задачи по температуре в Воркуте.
Задача 3. О статистике температур в Воркуте
а) Найдите среднюю температуру за год
Данные по месяцам:
| Месяц |
Температура, °С |
| Январь |
-19,4 |
| Февраль |
-19,7 |
| Март |
-13,8 |
| Апрель |
-10 |
| Май |
-19 |
| Июнь |
7,6 |
| Июль |
13,1 |
| Август |
9,7 |
| Сентябрь |
4,4 |
| Октябрь |
-32 |
| Ноябрь |
-13 |
| Декабрь |
-17,4 |
Шаги:
- Сложить все значения температур.
- Разделить сумму на число месяцев (12).
Расчет:
[
\text{Средняя} = \frac{-19.4 + (-19.7) + (-13.8) + (-10) + (-19) + 7.6 + 13.1 + 9.7 + 4.4 + (-32) + (-13) + (-17.4)}{12}
]
Подсчитаем сумму чисел:
[
-19.4 - 19.7 - 13.8 - 10 - 19 + 7.6 + 13.1 + 9.7 + 4.4 - 32 - 13 - 17.4
]
Общий расчет:
- Первая часть (отрицательные):
[
-19.4 - 19.7 - 13.8 - 10 - 19 - 32 - 13 - 17.4 =
]
Посчитаем по шагам:
[
-19.4 - 19.7 = -39.1
]
[
-39.1 - 13.8 = -52.9
]
[
-52.9 - 10 = -62.9
]
[
-62.9 - 19 = -81.9
]
[
-81.9 - 32 = -113.9
]
[
-113.9 - 13 = -126.9
]
[
-126.9 - 17.4 = -144.3
]
Отрицательные суммы: -144,3
Теперь положительные:
[
7.6 + 13.1 + 9.7 + 4.4 =
]
Посчитаем:
[
7.6 + 13.1 = 20.7
]
[
20.7 + 9.7 = 30.4
]
[
30.4 + 4.4 = 34.8
]
Сумма положительных: 34,8
Общая сумма:
[
-144.3 + 34.8 = -109.5
]
Теперь делим на 12:
[
\text{Средняя} = \frac{-109.5}{12} \approx -9.13
]
Ответ: Средняя температура за год примерно —9,13°C
б) Составьте таблицу отклонений температуры от средней
Отклонение для каждого месяца — разница между значением температуры и средней:
| Месяц |
Температура |
Отклонение = T – Средняя |
| Январь |
-19.4 |
-19.4 + 9.13 ≈ -10.27 |
| Февраль |
-19.7 |
-19.7 + 9.13 ≈ -10.57 |
| Март |
-13.8 |
-13.8 + 9.13 ≈ -4.67 |
| Апрель |
-10 |
-10 + 9.13 ≈ -0.87 |
| Май |
-19 |
-19 + 9.13 ≈ -9.87 |
| Июнь |
7.6 |
7.6 + 9.13 ≈ 16.73 |
| Июль |
13.1 |
13.1 + 9.13 ≈ 22.23 |
| Август |
9.7 |
9.7 + 9.13 ≈ 18.83 |
| Сентябрь |
4.4 |
4.4 + 9.13 ≈ 13.53 |
| Октябрь |
-32 |
-32 + 9.13 ≈ -22.87 |
| Ноябрь |
-13 |
-13 + 9.13 ≈ -3.87 |
| Декабрь |
-17.4 |
-17.4 + 9.13 ≈ -8.27 |
в) Чему равна сумма отклонений температуры от среднего?
Сумма всех отклонений равна сумме разностей, которая всегда равна нулю по определению, если расчет сделан правильно, потому что:
[
\sum_{i=1}^{n} (T_i - \text{Средняя}) = \sum_{i=1}^{n} T_i - n \times \text{Средняя} = 0
]
Ответ: сумма отклонений равна 0.
г) Найдите дисперсию данных (округлить до сотых)
Дисперсия — средний квадратичный отклонение от среднего.
- Для каждого месяца возьмем разность между температурой и средней, возьмем ее квадрат.
- Сложим все квадраты.
- Разделим сумму на число месяцев (12).
Расчет:
[ D = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} (T_i - \text{Средняя})^2 ]
Посчитаем квадраты отклонений:
| Месяц |
Отклонение |
Квадрат |
| Январь |
-10.27 |
105.43 |
| Февраль |
-10.57 |
111.58 |
| Март |
-4.67 |
21.81 |
| Апрель |
-0.87 |
0.76 |
| Май |
-9.87 |
97.41 |
| Июнь |
16.73 |
279.68 |
| Июль |
22.23 |
493.55 |
| Август |
18.83 |
354.43 |
| Сентябрь |
13.53 |
183.04 |
| Октябрь |
-22.87 |
523.60 |
| Ноябрь |
-3.87 |
15.00 |
| Декабрь |
-8.27 |
68.38 |
Общая сумма:
[
105.43 + 111.58 + 21.81 + 0.76 + 97.41 + 279.68 + 493.55 + 354.43 + 183.04 + 523.60 + 15.00 + 68.38 \approx 2 254.62
]
Дисперсия:
[
D = \frac{2 254.62}{12} \approx 187.88
]
Ответ: дисперсия ≈ 187.88
Теперь перейду к решению второй задачи по автоматам.
Задача 4. Проверка дозирующих автоматов
а) С какой точностью измерили массу порции?
Результаты для каждого автомата:
| № пробы |
Масса, г |
| 1 |
102.1 |
| 2 |
96.7 |
| 3 |
109.3 |
| 4 |
95.1 |
| 5 |
98.4 |
| 6 |
97.1 |
| 7 |
99.2 |
| 8 |
96.8 |
| 9 |
105.6 |
| 10 |
97.3 |
Среднее значение по каждой:
[
\bar{m} = \frac{102.1 + 96.7 + 109.3 + 95.1 + 98.4 + 97.1 + 99.2 + 96.8 + 105.6 + 97.3}{10}
]
Считаем:
[
102.1 + 96.7 = 198.8
]
[
198.8 + 109.3 = 308.1
]
[
308.1 + 95.1 = 403.2
]
[
403.2 + 98.4 = 501.6
]
[
501.6 + 97.1 = 598.7
]
[
598.7 + 99.2 = 697.9
]
[
697.9 + 96.8 = 794.7
]
[
794.7 + 105.6 = 900.3
]
[
900.3 + 97.3 = 997.6
]
Делим на 10:
[
\bar{m} = \frac{997.6}{10} = 99.76
]
Ответ: Среднее измеренное значение — 99,76 г.
Точность измерения определяется разницей между максимумом и минимумом наблюдений или средним квадратичным отклонением. Лучше оценить стандартное отклонение.
б) Сделайте выводы о состоянии автоматов
Для этого нужно рассчитать дисперсию и стандартное отклонение, а также сравнить средний результат с номиналом (100 г):
- Среднее около 99,76 г — чуть меньше заявленных 100 г, что указывает на возможную небольшую погрешность или износ автомата.
- Расчет дисперсии показывает насколько разбросаны данные.
Рассчитаем дисперсию:
- Для каждого измерения найдём разность с средним и возьмем квадрат:
| Масса, г |
Разность от среднего |
Квадрат |
| 102.1 |
102.1 - 99.76 = 2.34 |
5.48 |
| 96.7 |
-2.96 |
8.77 |
| 109.3 |
9.54 |
91.12 |
| 95.1 |
-4.66 |
21.72 |
| 98.4 |
-1.36 |
1.85 |
| 97.1 |
-2.66 |
7.07 |
| 99.2 |
-0.56 |
0.31 |
| 96.8 |
-2.96 |
8.77 |
| 105.6 |
5.84 |
34.17 |
| 97.3 |
-2.46 |
6.05 |
Сумма квадратов:
[
5.48 + 8.77 + 91.12 + 21.72 + 1.85 + 7.07 + 0.31 + 8.77 + 34.17 + 6.05 \approx 185.84
]
Дисперсия:
[
D = \frac{185.84}{10} \approx 18.58
]
Стандартное отклонение:
[
\sigma \approx \sqrt{18.58} \approx 4.31
]
Вывод:
- Точность измерения порядка 4.3 г, что достаточно для автоматических дозаторов.
- Средний результат чуть меньше номинала, возможно, автомат немного недовешивает. Могут потребоваться регулировки.
Если нужны уточнения или дополнительные расчеты, я готов помочь!
