Давайте внимательно разберемся с задачей и найдем высоту, на которой ускорение свободного падения равно 4,1 м/с².
Шаг 1: Напоминание о формуле для ускорения свободного падения на определенной высоте
На высоте ( h ) от поверхности Земли ускорение свободного падения ( g_h ) определяется по формуле:
[
g_h = \frac{GM}{(R + h)^2}
]
где:
- ( G ) — гравитационная постоянная,
- ( M ) — масса Земли,
- ( R ) — радиус Земли,
- ( h ) — высота над поверхностью Земли.
Нам известно:
[
g_h = 4{,}1, \text{м/с}^2
]
и нужно найти ( h ).
Шаг 2: Запишем известные данные
[
G = 6,7 \times 10^{-11}, \text{Н·м}^3/ \text{кг}^2
]
[
M = 6 \times 10^{24}, \text{кг}
]
[
R = 6400, \text{км} = 6{,}4 \times 10^6, \text{м}
]
Шаг 3: Найти сумму ( R + h )
Из формулы:
[
g_h = \frac{GM}{(R + h)^2}
]
выразим ( R + h ):
[
R + h = \sqrt{\frac{GM}{g_h}}
]
подставим значения:
[
R + h = \sqrt{\frac{6,7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24}}{4,1}}
]
Шаг 4: Вычислим числитель
[
GM = 6,7 \times 10^{-11} \times 6 \times 10^{24} = (6,7 \times 6) \times 10^{-11 + 24} = 40,2 \times 10^{13} = 4,02 \times 10^{14}
]
Шаг 5: Подставим в формулу для ( R + h )
[
R + h = \sqrt{\frac{4,02 \times 10^{14}}{4,1}} \approx \sqrt{9,8 \times 10^{13}}
]
Шаг 6: Еще раз возьмем корень
[
\sqrt{9,8 \times 10^{13}} = \sqrt{9,8} \times \sqrt{10^{13}} \approx 3,13 \times 10^{6.5}
]
Так как ( \sqrt{10^{13}} = 10^{6.5} ), получаем:
[
R + h \approx 3,13 \times 10^{6.5} \text{ м}
]
Значение ( 10^{6.5} ) примерно равно ( 3,16 \times 10^{6} ). Тогда:
[
R + h \approx 3,13 \times 3,16 \times 10^{6} \approx 9,89 \times 10^{6} \text{ м}
]
Шаг 7: Решить относительно ( h )
Помним, что:
[
R = 6,4 \times 10^{6} \text{ м}
]
тогда:
[
h = (R + h) - R \approx 9,89 \times 10^{6} - 6,4 \times 10^{6} = 3,49 \times 10^{6} \text{ м}
]
или примерно 3,5 миллиона метров.
Ответ: высота ( \boxed{\approx 3,5, \text{км}} ).
Однако, поскольку задача просит округлить до целых, окончательный ответ: около 3500 км.
