Давайте решим задачу пошагово, чтобы найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины (X).
Дано:
| Значение (x_i) |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
| Вероятность (P_i) |
0,15 |
0,22 |
0,14 |
0,08 |
0,32 |
0,09 |
1. Находим математическое ожидание (E(X))
Математическое ожидание для дискретной случайной величины вычисляется по формуле:
[
E(X) = \sum_{i} x_i \cdot P_i
]
Подставим значения:
[
E(X) = (1 \times 0,15) + (2 \times 0,22) + (3 \times 0,14) + (4 \times 0,08) + (5 \times 0,32) + (6 \times 0,09)
]
Выполним сложение по шагам:
- (1 \times 0,15 = 0,15)
- (2 \times 0,22 = 0,44)
- (3 \times 0,14 = 0,42)
- (4 \times 0,08 = 0,32)
- (5 \times 0,32 = 1,60)
- (6 \times 0,09 = 0,54)
Теперь сложим все:
[
E(X) = 0,15 + 0,44 + 0,42 + 0,32 + 1,60 + 0,54 = 3,47
]
Ответ:
[
\boxed{
\text{Математическое ожидание } E(X) = 3,47
}
]
2. Находим дисперсию (D(X))
Дисперсия рассчитывается по формуле:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2
]
Сперва найдём (E(X^2)):
[
E(X^2) = \sum_{i} x_i^2 \cdot P_i
]
Вычислим по шагам:
- (1^2 \times 0,15 = 1 \times 0,15 = 0,15)
- (2^2 \times 0,22 = 4 \times 0,22 = 0,88)
- (3^2 \times 0,14 = 9 \times 0,14 = 1,26)
- (4^2 \times 0,08 = 16 \times 0,08 = 1,28)
- (5^2 \times 0,32 = 25 \times 0,32 = 8,00)
- (6^2 \times 0,09 = 36 \times 0,09 = 3,24)
Складываем:
[
E(X^2) = 0,15 + 0,88 + 1,26 + 1,28 + 8,00 + 3,24 = 14,81
]
Теперь найдём дисперсию:
[
D(X) = E(X^2) - (E(X))^2 = 14,81 - (3,47)^2
]
Вычислим квадрат математического ожидания:
[
(3,47)^2 \approx 12,04
]
Итак:
[
D(X) = 14,81 - 12,04 = 2,77
]
Итоговые значения:
[
\boxed{
\begin{aligned}
&\text{Математическое ожидание } E(X) = 3,47 \
&\text{Дисперсия } D(X) = 2,77
\end{aligned}
}
]
Если есть вопросы или нужна помощь с другими задачами — обращайтесь!
