Центральные и вписанные углы окружности. Теорема о градусной мере вписанного угла с доказательством. Свойства вписанных углов.П9 2. Признаки равенства треугольников 3. Задача Б

Конечно! Рассмотрим тему «Центральные и вписанные углы окружности», включая теорему о градусной мере вписанного угла, доказательство и свойства. Также коснемся признаков равенства треугольников и решения задачи.

1. Центральный и вписанный угол окружности

Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны его — радиусы, исходящие из центра.
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — chords (хорды, секущие окружность).

2. Свойства вписанных углов

• Теорема: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.

Обозначения:
Пусть \( \angle ABC \) — вписанный угол, вершина которого — точка \( B \) на окружности, а дуга, на которую он опирается — это дуга \( AC \).

Тогда:
\[ \boxed{ \angle ABC = \frac{1}{2} \text{ measure дуги } AC } \]

• Следствие: Вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 180°, равен 90° (прямой).

3. Теорема о градусной мере вписанного угла (доказательство)

Рассмотрим окружность с вписанным углом \( \angle ABC \), вершина \( B \) на окружности, дуга \( AC \).

Доказательство:

1. Пусть точка \( B \) находится на окружности, а дуга \( AC \) делится точкой \( B \).

2. Построим радиусы \( OB \), \( OC \), \( OA \): \( O \) — центр окружности.

3. В треугольнике \( OAB \) и \( OCB \):

   • Радиусы \( OA, OB, OC \) равны, так как все — радиусы окружности.
   • Углы при центре \( O \), соответствующие дугам, равны дугам, например, \( \angle AOB \) равен дуге \( AB \), а \( \angle AOC \) — дуге \( AC \).

4. Вписанный угол \( \angle ABC \):

   • Он образует треугольник \( ABC \).
   • Его вершина — точка на окружности; стороны — хорды.

5. Основная идея:

   • Вписанный угол равен половине соответствующей дуги, на которую он опирается.

6. Доказательство:

   Пусть дуга \( AC \) равна \( \alpha \). Тогда, по свойству центрального угла, опирающегося на дугу \( AC \):

   \[ \boxed{ \text{Угол при центре } \angle AOC = \alpha } \]

   Вписанный угол \( \angle ABC \), опираясь на ту же дугу \( AC \), равен половине уголка при центре:

   \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \alpha \]

   — это и есть теорема.

4. Свойства вписанных углов

• Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
• Если две дуги равны, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны.
• Вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 180°, равен 90°.

5. Признаки равенства треугольников

Чтобы узнать, равны ли два треугольника, используют признаки:

• По двум сторонам и углу (ССУ): Если две стороны и угол между ними равны, треугольники равны.
• По стороне и двум прилегающим углам (СТА): Если сторона и два прилегающих к ней угла равны, треугольники равны.
• По трём сторонам (ССС): Если три стороны двух треугольников равны, они равны.
• По двум сторонам и диагонали: если равны две стороны и угол между ними, равны и треугольники.

6. Пример задачи (плановое решение)

Задача:
На окружности проведены два вписанных угла: \( \angle ABC \) и \( \angle DEF \). Известно, что дуга \( AC \) равна 80°, а дуга \( DF \) — 120°. Найти значения углов \( \angle ABC \) и \( \angle DEF \).

Решение:

• По свойству вписанных углов:
  \[ \angle ABC = \frac{1}{2} \times 80° = 40° \] \[ \angle DEF = \frac{1}{2} \times 120° = 60° \]

Если потребуется, я могу помочь решить более сложную задачу или подготовиться к определённому классу. Надеюсь, это поможет вам лучше понять тему!