Центральные и вписанные углы окружности. Теорема о градусной мере вписанного угла с доказательством. Свойства вписанных углов.П9 2. Признаки равенства треугольников 3. Задача Б
Ответ нейросети
11 мая 2025 13:40
Конечно! Рассмотрим тему «Центральные и вписанные углы окружности», включая теорему о градусной мере вписанного угла, доказательство и свойства. Также коснемся признаков равенства треугольников и решения задачи.
1. Центральный и вписанный угол окружности
Центральный угол — это угол, вершина которого находится в центре окружности, а стороны его — радиусы, исходящие из центра.
Вписанный угол — это угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны — chords (хорды, секущие окружность).
2. Свойства вписанных углов
- Теорема: Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
Обозначения:
Пусть ( \angle ABC ) — вписанный угол, вершина которого — точка ( B ) на окружности, а дуга, на которую он опирается — это дуга ( AC ).
Тогда:
[
\boxed{
\angle ABC = \frac{1}{2} \text{ measure дуги } AC
}
]
- Следствие: Вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 180°, равен 90° (прямой).
3. Теорема о градусной мере вписанного угла (доказательство)
Рассмотрим окружность с вписанным углом ( \angle ABC ), вершина ( B ) на окружности, дуга ( AC ).
Доказательство:
Пусть точка ( B ) находится на окружности, а дуга ( AC ) делится точкой ( B ).
Построим радиусы ( OB ), ( OC ), ( OA ): ( O ) — центр окружности.
В треугольнике ( OAB ) и ( OCB ):
- Радиусы ( OA, OB, OC ) равны, так как все — радиусы окружности.
- Углы при центре ( O ), соответствующие дугам, равны дугам, например, ( \angle AOB ) равен дуге ( AB ), а ( \angle AOC ) — дуге ( AC ).
Вписанный угол ( \angle ABC ):
- Он образует треугольник ( ABC ).
- Его вершина — точка на окружности; стороны — хорды.
Основная идея:
- Вписанный угол равен половине соответствующей дуги, на которую он опирается.
Доказательство:
Пусть дуга ( AC ) равна ( \alpha ). Тогда, по свойству центрального угла, опирающегося на дугу ( AC ):
[ \boxed{ \text{Угол при центре } \angle AOC = \alpha } ]
Вписанный угол ( \angle ABC ), опираясь на ту же дугу ( AC ), равен половине уголка при центре:
[ \angle ABC = \frac{1}{2} \cdot \alpha ]
— это и есть теорема.
4. Свойства вписанных углов
- Вписанный угол равен половине дуги, на которую он опирается.
- Если две дуги равны, то и вписанные углы, опирающиеся на эти дуги, равны.
- Вписанный угол, опирающийся на дугу, равную 180°, равен 90°.
5. Признаки равенства треугольников
Чтобы узнать, равны ли два треугольника, используют признаки:
- По двум сторонам и углу (ССУ): Если две стороны и угол между ними равны, треугольники равны.
- По стороне и двум прилегающим углам (СТА): Если сторона и два прилегающих к ней угла равны, треугольники равны.
- По трём сторонам (ССС): Если три стороны двух треугольников равны, они равны.
- По двум сторонам и диагонали: если равны две стороны и угол между ними, равны и треугольники.
6. Пример задачи (плановое решение)
Задача:
На окружности проведены два вписанных угла: ( \angle ABC ) и ( \angle DEF ). Известно, что дуга ( AC ) равна 80°, а дуга ( DF ) — 120°. Найти значения углов ( \angle ABC ) и ( \angle DEF ).
Решение:
- По свойству вписанных углов:
[ \angle ABC = \frac{1}{2} \times 80° = 40° ] [ \angle DEF = \frac{1}{2} \times 120° = 60° ]
Если потребуется, я могу помочь решить более сложную задачу или подготовиться к определённому классу. Надеюсь, это поможет вам лучше понять тему!
Понравился ответ?
Задай свой вопрос
Напиши любую задачу или вопрос, а нейросеть её решит
