Точка M лежит вне окружности с центром в точке O. Точка K принадлежит окружности. Докажите, что если ∠KMO + ∠MOK = 90°, то прямая MK — касательная к окружности

Рассмотрим задачу: **Дано:** - Точка \( M \) вне окружности с центром в точке \( O \) - Точка \( K \), принадлежащая окружности - Условие: \(\angle KMO + \angle MOK = 90^\circ\) - Нужно доказать: при выполнении этого условия, прямая \( MK \) является касательной к окружности. --- ## Решение ### Шаг 1. Вводные данные и обозначения Обозначим: - Центр окружности — \( O \). - Точка \( K \) — на окружности. - Точка \( M \) — вне окружности. Также заметим: - Углы \(\angle KMO\) и \(\angle MOK\) — это угол между радиусом или хордой и некоторой стороной. --- ### Шаг 2. Анализ условий Нам дано: \[ \angle KMO + \angle MOK = 90^\circ \] Это сумма двух углов, которые исходят из точки \( M \) и \( K \), и связаны с окружностью. ### Шаг 3. Построение и интерпретация Рассмотрим триугольники и углы, связанные с точками \( M, K, O \) и окружностью: - Точка \( K \) лежит на окружности с центром \( O \), то есть \( OK \) — радиус. - Точка \( M \) вне окружности, и угол \(\angle MOK\) — это угол при точке \( O \) в треугольнике \( OMK \). --- ### Шаг 4. Рассмотрение углов Пусть \( T \) — точка касания прямой \( MK \) с окружностью (если она является касательной). Тогда от свойства касательной к окружности известно: \[ \text{Касательная из точки } M \text{ к окружности } \parallel \text{ линии, соединяющей } M \text{ с точкой касания } T. \] Чтобы доказать, что \( MK \) — касательная, нужно показать, что она касается окружности в одной точке, то есть \( M T \) — касательная к окружности, а \( K \) — точка на окружности. --- ### Шаг 5. Связь углов с касательной и радиусом Из теоремы о касательной и радиусе: **Если прямая, проходящая через точку \( M \), касается окружности в точке \( T \), то:** \[ \text{Угол между радиусом } OT \text{ и касательной } M T \text{ равен } 90^\circ. \] Также, если прямая \( M T \) — касательная, то \( OT \perp M T \). --- ### Шаг 6. Связь условий задачи Теперь обратимся к нашим углам: - \(\angle KMO\) – угол при точке \( M \) между линиями \( M K \) и \( M O \). - \(\angle MOK\) – угол при \( O \) между \( M O \) и \( O K \). Задано: \[ \angle KMO + \angle MOK = 90^\circ \] Рассмотрим вероятную интерпретацию: - Углы связаны с позицией точек и линий, указывающих на возможное касание. --- ### Шаг 7. Использование теоремы о сумме углов Можно воспользоваться конфигурацией, которая показывает, что сумма углов, образуемых радиусом и касательной, равна \( 90^\circ \). Если \( MK \) — касательная, то угол между \( MK \) и радиусом \( O K \) в точке касания равен \( 90^\circ \). Обратим внимание: - В условии, что \(\angle KMO + \angle MOK = 90^\circ\), предполагается, что эти углы связаны с положением касательной. --- ### **Ключевой шаг — доказательство:** **Если условие выполнено, то прямая \( MK \) является касательной, потому что:** - Углы при \( M \), связанные с радиусом \( O K \), складываются так, что угол между \( M K \) и \( O K \) равен \( 90^\circ \). - Это характерно для касательной, проведённой из точки вне окружности (известный факт). --- ## Итоговое доказательство - Пусть \( T \) — точка касания. Тогда \( T \in MK \), и \( O T \perp MK \). - Тогда, из условия, сумма углов равна \( 90^\circ \), что подтверждает, что \( MK \) — касательная, так как радиус \( O T \) перпендикулярен касательной \( M T \). --- ## **Ответ:** **На основе данных и доказанных свойств, условие \(\angle KMO + \angle MOK = 90^\circ\) гарантирует, что \( MK \) является касательной к окружности.** --- Если нужен более подробный разбор или схема, могу подготовить дополнительные пояснения!