Серёжа решил попрактиковаться в тире. у него есть 5 патронов, каждый выстрел стоит 3 руб. при первом попадании он получает приз равный 360/м, где м- количество попыток,…
Серёжа решил попрактиковаться в тире. у него есть 5 патронов, каждый выстрел стоит 3 руб. при первом попадании он получает приз равный 360/м, где м- количество попыток, необходимых для попадания. вероятность попадания при одном выстреле равна 0.3. составь таблицу распределения для случайной величины х - доход стрелка при каждом его выстреле и соответствующие вероятности случайная величина х 0, 1,2,3,4,5
Давайте разберём задачу пошагово.
Дано:
- В наличии 5 патронов.
- Стоимость каждого выстрела — 3 руб.
- При первом попадании стрелок получает приз = 360 / m, где m — номер попытки, на которой произошёл первый успешный выстрел.
- Вероятность попадания (успеха) в каждом выстреле — p = 0.3.
- Вероятность промаха — q = 1 - p = 0.7.
- Нужно составить таблицу распределения случайной величины X — доход стрелка при каждом выстреле, и вероятности для значений X = 0, 1, 2, 3, 4, 5.
Шаг 1: Разбор условий
- Если стрелок не попал ни разу за все 5 попыток, его доход — 0.
- Если он попал впервые на m-й попытке (1 ≤ m ≤ 5), то:
- Он потратил (m) выстрелов, следовательно, потрачено 3 * m рублей,
- Он получил приз = 360 / m рублей.
Общий доход (после m-го успеха): \[ X_m = \text{приз} - \text{стоимость потраченных попыток} = \frac{360}{m} - 3m \]
Если он промахнулся во всех попытках: \[ X_0 = 0 \]
Шаг 2: Найдём доход X при каждом случае
- При первом успехе на попытке m (1 ≤ m ≤ 5): \[ X_m = \frac{360}{m} - 3m \]
- При полном промахе (успеха не было): \[ X_0 = 0 \]
Шаг 3: Вероятности для каждого случая
- Вероятность, что первый успех происходит именно на попытке m: \[ P(\text{первый успех на m-й попытке}) = q^{m-1} \times p \]
- Вероятность, что не было успеха за все 5 попыток: \[ P(\text{промахи во всех 5 попытках}) = q^5 \]
Итак, распределение вероятностей:
| m | Вероятность | Доход \( X_m \) |
|---|---|---|
| 0 | \( q^5 \) | 0 |
| 1 | \( p \times q^{0} = p \) | \( \frac{360}{1} - 3 \times 1 = 360 - 3 = 357 \) |
| 2 | \( p \times q^{1} = p q \) | \( 180 - 6 \) |
| 3 | \( p \times q^{2} = p q^2 \) | \( 120 - 9 \) |
| 4 | \( p \times q^{3} = p q^3 \) | \( \frac{360}{4} - 12 = 90 - 12 = 78 \) |
| 5 | \( p \times q^{4} = p q^4 \) | \( 72 - 15 \) |
Шаг 4: Расчёты вероятностей и доходов
Пусть:
- \( p = 0.3 \),
- \( q = 0.7 \).
Вычислим вероятности:
| m | Вероятность \( P_m \) | Доход \( X_m \) |
|---|---|---|
| 0 | \( q^5 = 0.7^5 \approx 0.16807 \) | 0 |
| 1 | \( p \times q^0 = 0.3 \times 1 = 0.3 \) | 357 |
| 2 | \( p \times q^1 = 0.3 \times 0.7 = 0.21 \) | 174 |
| 3 | \( p \times q^2 = 0.3 \times 0.49 = 0.147 \) | 111 |
| 4 | \( p \times q^3 = 0.3 \times 0.343 = 0.1029 \) | 78 |
| 5 | \( p \times q^4 = 0.3 \times 0.2401 = 0.07203 \) | 57 |
Итоговая таблица распределения:
| \(X\) | Вероятность \(P(X)\) |
|---|---|
| 0 | \(0.16807\) |
| 357 | \(0.3\) |
| 174 | \(0.21\) |
| 111 | \(0.147\) |
| 78 | \(0.1029\) |
| 57 | \(0.07203\) |
Обратите внимание, сумма всех вероятностей должна равняться 1: \[ 0.16807 + 0.3 + 0.21 + 0.147 + 0.1029 + 0.07203 \approx 1 \]
Итог:
- Случайная величина X — доход стрелка.
- Значения X и вероятности соответствуют результатам, рассмотренным выше.
Если нужно, я могу помочь оформить эти данные в виде таблицы или графика!
Если есть вопросы или нужно дополнительно что-то объяснить — скажите!
