В прямоугольном треугольнике ABC уголC=90градусов, проведена высота CH, угол ACH=30 градусов. Найди длину CH, если CB=18

Рассмотрим задачу по шагам. Дано: - \(\triangle ABC\), прямоугольный у \(C\), то есть \(\angle C = 90^\circ\). - Проведена высота \(CH\) из \(C\) на гипотенузу \(AB\). - \(\angle ACH = 30^\circ\). - \(CB = 18\). Задача: найти длину высоты \(CH\). --- ### Шаг 1: Обозначения и основные свойства Обозначим стороны: - \(AC = a\), - \(BC = b = 18\), - \(AB = c\). Поскольку \(\triangle ABC\) прямоугольный у \(C\), то: \[ a^2 + b^2 = c^2, \] где \(b=18\). --- ### Шаг 2: Анализ угла \(\angle ACH = 30^\circ\) Высота \(CH\) опускается из \(C\) на гипотенузу \(AB\). Обозначим точку пересечения \(H\) — точку на \(AB\). В треугольнике \(ACH\): - \(C\) — вершина, - \(H\) — основание высоты (на гипотенузе), - \(A\) — одна из вершин. Дано, что \(\angle ACH = 30^\circ\). --- ### Шаг 3: Связь angлa \(\angle ACH = 30^\circ\) Рассмотрим треугольник \(ACH\). Он является остроугольным, и известно, что угол при вершине \(C\) равен \(\angle ACH = 30^\circ\). Если провести высоту \(CH\), то она делит гипотенузу \(AB\) на два отрезка: \(AH\) и \(HB\). Важное свойство: Высота в прямоугольном треугольнике, проведённая к гипотенузе, делит гипотенузу на две части, каждую из которых пропорциональна прилегающим катетам: \[ \frac{AH}{HB} = \frac{AC}{BC} = \frac{a}{b}. \] Но тут есть другой важный момент — по условию, \(\angle ACH = 30^\circ\). Это позволяет связать сторону \(CH\) с известной стороной \(b=18\). --- ### Шаг 4: Используем свойства высоты и тригонометрию - В треугольнике \(ACH\): \[ \cos 30^\circ = \frac{adjacent}{hypotenuse} = \frac{AH}{AC} = \frac{AH}{a}. \] Также, в этом же треугольнике: \[ \sin 30^\circ = \frac{CH}{AC} = \frac{CH}{a}. \] Значения: \[ \cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, \quad \sin 30^\circ = \frac{1}{2}. \] Отсюда: \[ \frac{AH}{a} = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies AH = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \] \[ \frac{CH}{a} = \frac{1}{2} \implies CH = \frac{a}{2}. \] --- ### Шаг 5: Связь \(AH\), \(HB\) и гипотенузы \(AB=c\) Из свойства деления гипотенузы: \[ AH = \frac{a}{a+b} \cdot c, \quad HB = \frac{b}{a+b} \cdot c, \] но это в случае, когда высота \(CH\) делит гипотенузу в отношении прилегающих катетов. Или проще: в прямоугольном треугольнике, гипотенуза \(AB=c\), а высота \(CH\) при этом связана со сторонами следующим образом: \[ CH = \frac{ab}{c}, \] где \(a\) и \(b\) — катеты. --- ### Шаг 6: Выражение \(a\) через \(CH\) Ранее мы нашли: \[ CH = \frac{a}{2}, \] и также \[ a^2 + b^2 = c^2. \] В свою очередь, из свойства деления гипотенузы: \[ H\text{ делит } AB \Rightarrow AH \cdot HB = CH^2, \] или, альтернативно, \[ CH^2 = AH \times HB. \] Но \(AH\) и \(HB\) связаны с катетами: \[ AH = a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \] и из аналогичных соотношений: \[ HB = b \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}, \] или, по свойству деления гипотенузы, при \(A=(0,0)\), \(B=(c,0)\), \(H\) — точка на \(AB\): \[ CH = \frac{ab}{c}, \] по формуле для высоты в прямоугольном треугольнике. --- ### Шаг 7: Итоговое выражение для \(CH\) Используя \(CH = \frac{ab}{c}\), и учитывая, что \(b=18\), получаем: \[ CH = \frac{a \times 18}{c}. \] Но из теоремы Пифагора: \[ c^2 = a^2 + 18^2 = a^2 + 324. \] Также известно, что: \[ a = 2 \times CH, \] подставляем это: \[ CH = \frac{(2CH) \times 18}{c} \Rightarrow CH = \frac{36 CH}{c}. \] Отсюда: \[ c = 36, \] так как \(CH \neq 0\). Теперь, находя \(a\): \[ a = 2 \times CH, \] и \[ c^2 = a^2 + 324, \] подставляем \(c=36\): \[ 36^2 = a^2 + 324, \] \[ 1296 = a^2 + 324, \] \[ a^2 = 972, \] \[ a = \sqrt{972} = \sqrt{36 \times 27} = 6 \sqrt{27} = 6 \times 3 \sqrt{3} = 18 \sqrt{3}. \] Так как \(a = 2 \times CH\), то: \[ 2 \times CH = 18 \sqrt{3} \Rightarrow CH = 9 \sqrt{3}. \] --- ### **Ответ:** \[ \boxed{ \boxed{CH = 9 \sqrt{3}} } \] --- Если нужен числовой ответ: \(9 \sqrt{3} \approx 15.59.\)