Прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см вписан в окружность. Чему равен радиус этой окружности?

Давайте разберём задачу подробно.

Дано:

• Прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см.
• Он вписан в окружность. Нужно найти радиус этой окружности.

Шаг 1. Найдём гипотенузу треугольника

Так как треугольник прямоугольный, по теореме Пифагора:

\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]

где \(a = 7\,\text{см}\), \(b = 24\,\text{см}\).

Подставим значения:

\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25\,\text{см} \]

Шаг 2. Свойства вписанного в окружность прямоугольного треугольника

Вписанная окружность треугольника (или окружность, в которую вписан треугольник) имеет особое свойство:

• Диаметр окружности, вписанной вокруг прямоугольного треугольника, равен гипотенузе этого треугольника.

То есть, если треугольник прямой, а гипотенуза равна \(c = 25\,\text{см}\), то:

\[ \text{Диаметр окружности} = 25\,\text{см} \]

Шаг 3. Находим радиус окружности

Радиус окружности \(R\) — это половина диаметра:

\[ R = \frac{d}{2} = \frac{25}{2} = 12{,}5\,\text{см} \]

Ответ:

Радиус окружности, в которую вписан прямоугольный треугольник с катетами 7 см и 24 см, равен 12,5 см.