В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 2 см. Известно, что сумма катетов равна 14 см. Найдите AB и найдите площадь треугольника ABC.
Давайте разберемся с задачей пошагово.
Дано:
- Треугольник ABC прямой, с прямым углом C.
- Вписанная окружность радиуса \( r = 2 \) см.
- Сумма катетов: \( AC + BC = 14 \) см.
- Нужно найти гипотенузу \( AB \) и площадь треугольника.
Шаг 1: Обозначения
Обозначим:
- Катеты: \( AC = a \), \( BC = b \),
- Гипотенуза: \( AB = c \).
Известно, что: \[ a + b = 14. \]
Также, в прямоугольном треугольнике: \[ c^2 = a^2 + b^2. \]
Шаг 2: Связь радиуса вписанной окружности с треугольником
Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) связан с катетами и гипотенузой следующей формулой:
\[ r = \frac{a + b - c}{2}. \]
Это легко вывести, зная, что для любого треугольника: \[ r = \frac{S}{p}, \] где \( S \) — площадь, а \( p \) — полупериметр.
Но для прямоугольника есть более простое выражение: \[ r = \frac{a + b - c}{2}. \]
Поскольку \( r = 2 \), получаем:
\[ 2 = \frac{a + b - c}{2}. \]
Подставим \( a + b = 14 \):
\[ 2 = \frac{14 - c}{2} \implies 4 = 14 - c \implies c = 14 - 4 = 10. \]
Итог: гипотенуза \( c = 10 \) см.
Шаг 3: Найдем \( a \) и \( b \)
Используем уравнение Пифагора:
\[ a^2 + b^2 = c^2 = 100. \]
Также знаем:
\[ a + b = 14. \]
Выразим \( b \):
\[ b = 14 - a. \]
Подставим в уравнение Пифагора:
\[ a^2 + (14 - a)^2 = 100. \]
Раскроем скобки:
\[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100, \]
\[ a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100, \]
\[ 2a^2 - 28a + 196 = 100. \]
Перенесем все в одну сторону:
\[ 2a^2 - 28a + 96 = 0. \]
Разделим все на 2:
\[ a^2 - 14a + 48 = 0. \]
Решим квадратное уравнение:
\[ a = \frac{14 \pm \sqrt{(14)^2 - 4 \times 1 \times 48}}{2}. \]
Вычислим дискриминант:
\[ D = 196 - 192 = 4. \]
Значит:
\[ a = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2}. \]
Получаем два решения:
- \( a = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \),
- \( a = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \).
Correspondingly, \( b = 14 - a \):
- Если \( a = 8 \), то \( b = 6 \),
- Если \( a = 6 \), то \( b = 8 \).
Вывод:
Катеты равны 6 см и 8 см (или наоборот).
Гипотенуза \( AB = c = 10 \) см.
Шаг 4: Найдем площадь треугольника
Площадь прямоугольного треугольника:
\[ S = \frac{1}{2} \times a \times b. \]
Возьмем \( a = 6 \), \( b = 8 \):
\[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2. \]
Итфиез:
- Гипотенуза \( AB \) равна 10 см.
- Площадь треугольника \( ABC \) равна 24 квадратных сантиметра.
Если нужны дополнительные объяснения, с удовольствием помогу!
