В прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C вписана окружность радиуса 2 см. Известно, что сумма катетов равна 14 см. Найдите AB и найдите площадь треугольника ABC.

Давайте разберемся с задачей пошагово. **Дано:** - Треугольник ABC прямой, с прямым углом C. - Вписанная окружность радиуса \( r = 2 \) см. - Сумма катетов: \( AC + BC = 14 \) см. - Нужно найти гипотенузу \( AB \) и площадь треугольника. --- ### Шаг 1: Обозначения Обозначим: - Катеты: \( AC = a \), \( BC = b \), - Гипотенуза: \( AB = c \). Известно, что: \[ a + b = 14. \] Также, в прямоугольном треугольнике: \[ c^2 = a^2 + b^2. \] --- ### Шаг 2: Связь радиуса вписанной окружности с треугольником Для прямоугольного треугольника радиус вписанной окружности \( r \) связан с катетами и гипотенузой следующей формулой: \[ r = \frac{a + b - c}{2}. \] Это легко вывести, зная, что для любого треугольника: \[ r = \frac{S}{p}, \] где \( S \) — площадь, а \( p \) — полупериметр. Но для прямоугольника есть более простое выражение: \[ r = \frac{a + b - c}{2}. \] Поскольку \( r = 2 \), получаем: \[ 2 = \frac{a + b - c}{2}. \] Подставим \( a + b = 14 \): \[ 2 = \frac{14 - c}{2} \implies 4 = 14 - c \implies c = 14 - 4 = 10. \] ### Итог: **гипотенуза \( c = 10 \) см.** --- ### Шаг 3: Найдем \( a \) и \( b \) Используем уравнение Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2 = 100. \] Также знаем: \[ a + b = 14. \] Выразим \( b \): \[ b = 14 - a. \] Подставим в уравнение Пифагора: \[ a^2 + (14 - a)^2 = 100. \] Раскроем скобки: \[ a^2 + (196 - 28a + a^2) = 100, \] \[ a^2 + 196 - 28a + a^2 = 100, \] \[ 2a^2 - 28a + 196 = 100. \] Перенесем все в одну сторону: \[ 2a^2 - 28a + 96 = 0. \] Разделим все на 2: \[ a^2 - 14a + 48 = 0. \] Решим квадратное уравнение: \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{(14)^2 - 4 \times 1 \times 48}}{2}. \] Вычислим дискриминант: \[ D = 196 - 192 = 4. \] Значит: \[ a = \frac{14 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{14 \pm 2}{2}. \] Получаем два решения: 1. \( a = \frac{14 + 2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \), 2. \( a = \frac{14 - 2}{2} = \frac{12}{2} = 6 \). Correspondingly, \( b = 14 - a \): - Если \( a = 8 \), то \( b = 6 \), - Если \( a = 6 \), то \( b = 8 \). --- ### **Вывод:** Катеты равны **6 см** и **8 см** (или наоборот). Гипотенуза \( AB = c = 10 \) см. --- ### Шаг 4: Найдем площадь треугольника Площадь прямоугольного треугольника: \[ S = \frac{1}{2} \times a \times b. \] Возьмем \( a = 6 \), \( b = 8 \): \[ S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 = 24 \text{ см}^2. \] --- ## Итфиез: - **Гипотенуза \( AB \) равна** **10 см**. - **Площадь треугольника \( ABC \) равна** **24 квадратных сантиметра**. Если нужны дополнительные объяснения, с удовольствием помогу!