Найти предел функции: 1. lim 𝑥→∞ 5𝑥3−2𝑥2 + 2√𝑥23 − 4 3𝑥 − 4𝑥2−8𝑥3 + 3𝑥√𝑥 2. lim 𝑥→3 𝑥2 − 4𝑥 + 3 4 − √5𝑥 + 1 3. lim 𝑥→∞ (√𝑥2 + 3𝑥 − 2 − √𝑥2 − 2𝑥 + 3) 4. lim 𝑥→−2…

Давайте разберем каждую задачу по шагам и найдём пределы функций.

---

Задача 1:
\[ \lim_{x \to \infty} \frac{5x^3 - 2x^2 + 2\sqrt{x^2} - 4}{3x - 4x^2 - 8x^3 + 3x\sqrt{x^2}} \]

Шаг 1. Упростим выражения с корнями:

\(\sqrt{x^2} = |x|\). При \(x \to \infty\) — это просто \(x\), так как \(x > 0\).

Тогда числитель: \[ 5x^3 - 2x^2 + 2x - 4 \] и знаменатель: \[ 3x - 4x^2 - 8x^3 + 3x \cdot x = 3x - 4x^2 - 8x^3 + 3x^2 \] поскольку \(\sqrt{x^2} = x\).

Приведем знаменатель: \[ 3x - 4x^2 - 8x^3 + 3x^2 = 3x + (-4x^2 + 3x^2) - 8x^3 = 3x - x^2 - 8x^3 \]

Шаг 2. Вынесем старшие степени из числителя и знаменателя:

• В числителе ведущая степень — \(x^3\)
• В знаменателе ведущая степень — \(-8x^3\)

Делим числитель и знаменатель на \(x^3\): \[ \lim_{x \to \infty} \frac{5 - \frac{2}{x} + \frac{2}{x^2} }{-8 + \frac{1}{x} + \frac{3}{x^2}} \]

При \(x \to \infty\) дроби \(\frac{1}{x} \to 0\), \(\frac{1}{x^2} \to 0\), и остается: \[ \frac{5}{-8} = -\frac{5}{8} \]

Ответ: \(\boxed{-\frac{5}{8}}\)

---

Задача 2:
\[ \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 4x + 3}{4 - \sqrt{5x + 1}} \]

Шаг 1. Подставим \(x=3\):

\[ x^2 - 4x + 3 = 9 - 12 + 3 = 0 \] и в знаменателе: \[ 4 - \sqrt{5 \cdot 3 + 1} = 4 - \sqrt{15 + 1} = 4 - \sqrt{16} = 4 - 4 = 0 \]

Получили неопределенность вида \(\frac{0}{0}\), воспользуемся алгебраическими преобразованиями.

Шаг 2. Приведем числитель:

\[ x^2 - 4x + 3 = (x - 1)(x - 3) \]

Шаг 3. Преобразуем знаменатель, умножая и деля на сопряженное выражение:

\[ 4 - \sqrt{5x + 1} \quad \times \frac{4 + \sqrt{5x+1}}{4 + \sqrt{5x+1}} \]

Тогда число станет: \[ (4)^2 - (\sqrt{5x + 1})^2 = 16 - (5x + 1) = 15 - 5x \]

И знаменатель: \[ (4 - \sqrt{5x + 1})(4 + \sqrt{5x+1}) = 15 - 5x \]

Итак, исходный предел преобразился в: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1)(x - 3)}{(15 - 5x) / (4 + \sqrt{5x+1})} = \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1)(x - 3) (4 + \sqrt{5x+1})}{15 - 5x} \]

Обратим внимание, что \(15 - 5x = -5(x - 3)\).

Тогда: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1)(x - 3) (4 + \sqrt{5x+1})}{-5(x - 3)} \]

Остается сократить \(x - 3\):

\[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 1) (4 + \sqrt{5x+1})}{-5} \]

Подставляем \(x=3\): \[ (3-1) \left(4 + \sqrt{15+1}\right) / -5 = 2 \times (4 + 4) / -5 = 2 \times 8 / -5 = \frac{16}{-5} = -\frac{16}{5} \]

Ответ: \(\boxed{-\frac{16}{5}}\)

---

Задача 3: \[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - 2x + 3} \right) \]

Шаг 1. Вынесем \(x^2\) из под корней внутри скобок:

\[ \sqrt{x^2(1 + \frac{3}{x})} = |x| \sqrt{1 + \frac{3}{x}} \] и \[ \sqrt{x^2(1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2})} = |x| \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} \]

При \(x \to \infty\), \(|x| = x\).

Значит: \[ x \sqrt{1 + \frac{3}{x}} - x \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} \]

Выносим \(x\): \[ x \left( \sqrt{1 + \frac{3}{x}} - \sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}} \right) \]

Шаг 2. Расширим выражения в скобках в виде ряда для больших \(x\):

Используем приближение \(\sqrt{1 + t} \approx 1 + \frac{t}{2}\) для малых \(t\).

1. \(\sqrt{1 + \frac{3}{x}} \approx 1 + \frac{3}{2x}\)

2. \(\sqrt{1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}}\)

Рассмотрим второй корень:
\[ 1 - \frac{2}{x} + \frac{3}{x^2} \] Меньшие члены, поэтому приближение: \[ \sqrt{1 + t} \approx 1 + \frac{t}{2} - \frac{t^2}{8} \] здесь \(t = -\frac{2}{x} + \frac{3}{x^2}\)

Расширение для второго корня: \[ 1 + \frac{-2/x + 3/x^2}{2} - \frac{(-2/x + 3/x^2)^2}{8} \]

Рассчитаем: \[ 1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{2x^2} - \frac{1}{8} \left( \frac{4}{x^2} - \frac{12}{x^3} + \frac{9}{x^4} \right) \]

Для больших \(x\), пропускаем очень малые члены \(\frac{1}{x^3}\) и выше: \[ 1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{2x^2} - \frac{4}{8x^2} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{3}{2x^2} - \frac{1}{2x^2} = 1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2} \]

Шаг 3. Итоговая разность:

\[ x \left( 1 + \frac{3}{2x} - (1 - \frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) \right) = x \left( \frac{3}{2x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) \]

Объединим: \[ x \left( \frac{3}{2x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{x^2} \right) = x \left(\frac{3/2 + 1}{x} - \frac{1}{x^2}\right) = \left( \frac{3/2 + 1}{1} \right) - \frac{1}{x} = \frac{5/2}{1} - \frac{1}{x} \]

При \(x \to \infty\), \(\frac{1}{x} \to 0\), и осталось: \[ \frac{5}{2} \]

Ответ: \(\boxed{\frac{5}{2}}\)

---

Задача 4: \[ \lim_{x \to -2} \frac{3x^2 + 4x - 4}{16 - 2x - 5x^2} \]

Шаг 1. Подставим \(x=-2\):

Числитель: \[ 3(-2)^2 + 4(-2) - 4 = 3 \times 4 - 8 - 4 = 12 - 8 - 4 = 0 \] Знаменатель: \[ 16 - 2(-2) - 5(-2)^2 = 16 + 4 - 5 \times 4 = 16 + 4 - 20 = 0 \] Опять получилось неопределенное \(0/0\).

Шаг 2. Разложим числитель и знаменатель:

Числитель: \[ 3x^2 + 4x - 4 \] Знаменатель: \[ 16 - 2x - 5x^2 \]

Обозначим: \[ \text{числитель} = 3x^2 + 4x - 4 \] \[ \text{знаменатель} = -5x^2 - 2x + 16 \] или \[ -5x^2 - 2x + 16 \]

Шаг 3. Найдем корни числителя и знаменателя:

Корни числителя: Решим \(3x^2 + 4x - 4=0\):

Дискриминант: \[ D = 4^2 - 4 \times 3 \times (-4) = 16 + 48 = 64 \] Корни: \[ x = \frac{-4 \pm \sqrt{64}}{2 \times 3} = \frac{-4 \pm 8}{6} \]

\[ x_1 = \frac{-4 + 8}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] \[ x_2 = \frac{-4 - 8}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]

Корни знаменателя: Решим \(-5x^2 - 2x + 16=0\):

Дискриминант: \[ D = (-2)^2 - 4 \times (-5) \times 16 = 4 + 320 = 324 \] Корни: \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2 \times -5} = \frac{2 \pm 18}{-10} \]

\[ x_1 = \frac{2 + 18}{-10} = \frac{20}{-10} = -2 \] \[ x_2= \frac{2 - 18}{-10} = \frac{-16}{-10} = \frac{8}{5} \]

Итог:

• Обе функции имеют общий корень в \(x=-2\)

Шаг 4. Разложение — поделим числитель и знаменатель на \((x+2)\):

• Числитель \(3x^2 + 4x - 4\) делим на \((x+2)\):

  Используем деление или формулу:

  Подставим \(x=-2\), чтобы найти делитель.

  Или просто делим:

  Пусть \(3x^2 + 4x - 4 = (x+2)(A x + B)\)

  Раскроем скобки: \[ (x+2)(A x + B) = A x^2 + B x + 2A x + 2B = A x^2 + (B + 2A) x + 2B \] Сравним с исходным: \[ 3x^2 + 4x - 4 \]

  Тогда: \[ A = 3 \] и \[ B + 2A = 4 \Rightarrow B + 6 = 4 \Rightarrow B = -2 \]

  найдена: \[ 3x^2 + 4x - 4 = (x + 2)(3x - 2) \]

• Аналогично знаменатель: \[ -5x^2 - 2x + 16 = (x+2) \times \text{делитель} \]

Пусть делитель — \(Q(x)=a x + b\):

\[ (x+2)(a x + b) = a x^2 + b x + 2 a x + 2 b \]

Сравним с \(-5x^2 - 2x +16\):

\[ a = -5 \] \[ b + 2a = -2 \Rightarrow b - 10 = -2 \Rightarrow b=8 \]

Проверим: \[ (x+2)(-5x +8) = -5x^2 + 8x -10 x +16 = -5x^2 - 2x + 16 \] Совпадает.

Шаг 5. Упростим предел:

\[ \lim_{x \to -2} \frac{(x+2)(3x-2)}{(x+2)(-5x+8)} \]

Сокращаем \((x+2)\): \[ \lim_{x \to -2} \frac{3x - 2}{-5x + 8} \]

Подставляем \(x=-2\): \[ \frac{3 \times (-2) - 2}{-5 \times (-2) + 8} = \frac{-6 - 2}{10 + 8} = \frac{-8}{18} = -\frac{4}{9} \]

Ответ: \(\boxed{-\frac{4}{9}}\)

---

Если есть еще что-то — обращайтесь!