Сформулируйте правило возведения в степень степени
Правило возведения в степень степени (или правило степеней) описывает, как правильно работать с выражениями, содержащими степени и показатели степеней. Вот основные случаи и их объяснения:
1. Возведение степени в степень
Если есть выражение, например \( (a^m)^n \), то оно равно \( a^{m \cdot n} \):
\[
\boxed{
(a^m)^n = a^{m \cdot n}
}
\]
Объяснение:
Когда берём степень степени, то показатели степеней умножаются. Иными словами, если мы сначала возводим число \(a\) в степень \(m\), а потом полученный результат — в степень \(n\), то итоговая степень — произведение \(m\) и \(n\).
Пример:
\[
(x^2)^3 = x^{2 \times 3} = x^6
\]
2. Умножение степеней с одинаковым основанием
Если есть два выражения с одинаковым основанием, например \( a^m \cdot a^n \), то их произведение равно \( a^{m + n} \):
\[
\boxed{
a^{m} \cdot a^{n} = a^{m + n}
}
\]
Объяснение:
Когда множим степени с одинаковым основанием, показатели складываются.
Пример:
\[
x^3 \cdot x^4 = x^{3 + 4} = x^7
\]
3. Деление степеней с одинаковым основанием
Если делим степени с одинаковым основанием, например \( \frac{a^m}{a^n} \), то результат — это степень с показатель \( m - n \):
\[
\boxed{
\frac{a^{m}}{a^{n}} = a^{m - n}
}
\]
Объяснение:
Когда делим степени с одинаковым основанием, показатели вычитаются.
Пример:
\[
\frac{x^5}{x^2} = x^{5 - 2} = x^3
\]
4. Возведение произведения или деления в степень
- Для произведения внутри скобок, возведенного в степень:
\[ (ab)^n = a^n \cdot b^n \] - Для деления внутри скобок, возведенного в степень:
\[ \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n} \]
Объяснение:
Возводя произведение или частное в степень, степень распределяется на каждый множитель или делитель.
Итоговое правило:
- \((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)
- \(a^m \cdot a^n = a^{m + n}\) (если базовые основания совпадают)
- \(\frac{a^m}{a^n} = a^{m - n}\) (если базовые основания совпадают)
- \((ab)^n = a^n \cdot b^n\)
- \(\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}\)
Эти правила позволяют упростить выражения, включающие степени, и правильно выполнять возведение в степень как в алгебре.
