цилиндр описан около шара. обем цилиндра 6 см^3. найти объем шара.
Давайте подробно разберем задачу: у нас есть цилиндр, описанный около шара, объем которого равен 6 см³. Нужно найти объем шара.
Что означает "цилиндр описан около шара"?
Это значит, что шар вписан в цилиндр так, что он касается его боковых поверхностей и дна/крышки. В таком случае:
- радиус шара равен радиусу цилиндра (р₁ = r)
- высота цилиндра равна диаметру шара (h = 2r)
Шаг 1. Обозначения
Пусть:
- r — радиус шара (и цилиндра)
- h — высота цилиндра
Шаг 2. Связь между высотой цилиндра и радиусом шара
Так как шар вписан в цилиндр:
- h = 2r
Шаг 3. Формула объема цилиндра
Объем цилиндра равен: \[ V_{цилиндр} = \pi r^2 h \]
Подставим h = 2r: \[ V_{цилиндр} = \pi r^2 \cdot 2r = 2 \pi r^3 \]
У нас есть объем цилиндра — 6 см³, значит: \[ 2 \pi r^3 = 6 \]
Шаг 4. Решение уравнения для r
Найдем r: \[ r^3 = \frac{6}{2 \pi} = \frac{3}{\pi} \]
Следовательно: \[ r = \sqrt[3]{\frac{3}{\pi}} \]
Шаг 5. Объем шара
Объем шара: \[ V_{шар} = \frac{4}{3} \pi r^3 \]
Подставим найденное значение r³: \[ V_{шар} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{3}{\pi} = \frac{4}{3} \pi \cdot \frac{3}{\pi} \]
Сократим π и 3: \[ V_{шар} = \frac{4}{3} \times 3 = 4 \]
Итог:
Объем шара равен 4 см³.
Если есть дополнительные вопросы или нужно подробнее объяснить какой-либо шаг, скажите!
