решить линейное однородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэффициентами. a)y"+ y'=0

Рассмотрим линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами:

\[ y'' + y' = 0 \]

Шаг 1: Запишем характерное уравнение.

Характеристическое уравнение для данного уравнения:

\[ r^2 + r = 0 \]

или

\[ r(r + 1) = 0 \]

Шаг 2: Решим характеристическое уравнение.

Решения:

\[ r_1 = 0 \] \[ r_2 = -1 \]

Шаг 3: Запишем общее решение.

Так как корни являются простыми действительными, решение уравнения выглядит так:

\[ y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t} \]

или

\[ y(t) = C_1 e^{0 \cdot t} + C_2 e^{-t} = C_1 + C_2 e^{-t} \]

где \( C_1 \) и \( C_2 \) — произвольные константы.

Ответ:

\[ \boxed{ y(t) = C_1 + C_2 e^{-t} } \]