В лабораторном эксперименте длина дифракционного спектра 1-го порядка на экране равна 10 см, а расстояние от линзы до экрана - 1,6 м. Рассчитай период дифракционной решётки,…
В лабораторном эксперименте длина дифракционного спектра 1-го порядка на экране равна 10 см, а расстояние от линзы до экрана - 1,6 м. Рассчитай период дифракционной решётки, учитывая следующие физические параметры экспериментальной установки: на дифракционную решётку, находящуюся перед собирающей линзой, падает под углом 90" к её плоскости белый свет, диапазон видимого излучения которого составляет от 397 до 756 нм.
Давайте подробно разберём задачу и решим её пошагово.
Входные данные:
- Длина дифракционного спектра 1-го порядка на экране — 10 см = 0,1 м
- Расстояние от линзы до экрана — \(L = 1,6\,м\)
- Угол падения света на дифракционную решётку — 90°
- Диапазон длины волны видимого света: от \(\lambda_{min} = 397\,\text{нм}\) до \(\lambda_{max} = 756\,\text{нм}\)
Что нужно найти:
Период дифракционной решётки \(d\)
Шаг 1. Связь между длиной спектра и углом дифракции
Для дифракционной решётки, для 1-го порядка (\(m=1\)), закон дифракции:
\[ d \sin \theta = m \lambda \]
где:
- \(d\) — период решётки,
- \(\theta\) — угол дифракции (между нормалью к решётке и линией разошедшихся максимумов),
- \(\lambda\) — длина волны.
Шаг 2. Определение углов \(\theta_{min}\) и \(\theta_{max}\)
На практике, чтобы найти \(d\), нужно связать длину спектра на экране и углы дифракции.
Обозначим:
- \(D\) — длина спектра на экране = 0,1 м,
- \(L\) — расстояние от решётки до экрана = 1,6 м,
- \(x\) — смещение для каждого из спектров.
На практике, длина спектра связана с углом через:
\[ x = L \tan \theta \]
Поскольку \(\theta\) обычно очень мал при видимом диапазоне, можем использовать приближение \(\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta\) в радианах.
Тогда:
\[ x = L \sin \theta \]
для первого порядка, разница между длинами спектров для двух длин волн \(\lambda_{max}\) и \(\lambda_{min}\):
\[ \Delta x = L (\sin \theta_{max} - \sin \theta_{min}) = L \left( \frac{m \lambda_{max}}{d} - \frac{m \lambda_{min}}{d} \right) = \frac{m L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min}) \]
Здесь \(m=1\), так как речь идёт о первом порядке:
\[ \Delta x = \frac{L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min}) \]
Обратим внимание, что длина спектра на экране — это разница между двумя длинами ярко выраженных областей:
\[ D = x_{max} - x_{min} \approx \Delta x \]
Так как \(\sin \theta \approx \theta\), то:
\[ D = \frac{L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min}) \]
И наоборот, из этого:
\[ d = \frac{L (\lambda_{max} - \lambda_{min})}{D} \]
Шаг 3. Подстановка числовых значений:
- \(\lambda_{max} = 756\,\text{нм} = 756 \times 10^{-9}\,м\)
- \(\lambda_{min} = 397\,\text{нм} = 397 \times 10^{-9}\,м\)
- \(D = 0,1\,м\)
- \(L = 1,6\,м\)
Расчёт:
\[ d = \frac{1,6 \times (756 \times 10^{-9} - 397 \times 10^{-9})}{0,1} \]
Находим разницу в длинах волн:
\[ 756 \times 10^{-9} - 397 \times 10^{-9} = (756 - 397) \times 10^{-9} = 359 \times 10^{-9}\,м \]
Подставляем:
\[ d = \frac{1,6 \times 359 \times 10^{-9}}{0,1} = \frac{1,6 \times 359 \times 10^{-9}}{0,1} \]
Выполняем умножение чисел:
\[ d = \frac{1,6 \times 359 \times 10^{-9}}{0,1} = 1,6 \times 359 \times 10^{-9} \times 10 = 1,6 \times 359 \times 10^{-8} \]
\[ d \approx 1,6 \times 359 \times 10^{-8} = (1,6 \times 359) \times 10^{-8} \approx 574,4 \times 10^{-8} \]
Или:
\[ d \approx 5,744 \times 10^{-6}\,м \]
То есть, период дифракционной решётки:
\[ \boxed{ d \approx 5,74\,\mu m } \]
Итог:
Период дифракционной решётки примерно равен \(\boxed{5,74\,\mu m}\).
Если нужно, я могу помочь объяснить ещё детали.
