Давайте подробно разберём задачу и решим её пошагово.
Входные данные:
- Длина дифракционного спектра 1-го порядка на экране — 10 см = 0,1 м
- Расстояние от линзы до экрана — (L = 1,6,м)
- Угол падения света на дифракционную решётку — 90°
- Диапазон длины волны видимого света: от (\lambda_{min} = 397,\text{нм}) до (\lambda_{max} = 756,\text{нм})
Что нужно найти:
Период дифракционной решётки (d)
Шаг 1. Связь между длиной спектра и углом дифракции
Для дифракционной решётки, для 1-го порядка ((m=1)), закон дифракции:
[
d \sin \theta = m \lambda
]
где:
- (d) — период решётки,
- (\theta) — угол дифракции (между нормалью к решётке и линией разошедшихся максимумов),
- (\lambda) — длина волны.
Шаг 2. Определение углов (\theta_{min}) и (\theta_{max})
На практике, чтобы найти (d), нужно связать длину спектра на экране и углы дифракции.
Обозначим:
- (D) — длина спектра на экране = 0,1 м,
- (L) — расстояние от решётки до экрана = 1,6 м,
- (x) — смещение для каждого из спектров.
На практике, длина спектра связана с углом через:
[
x = L \tan \theta
]
Поскольку (\theta) обычно очень мал при видимом диапазоне, можем использовать приближение (\tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta) в радианах.
Тогда:
[
x = L \sin \theta
]
для первого порядка, разница между длинами спектров для двух длин волн (\lambda_{max}) и (\lambda_{min}):
[
\Delta x = L (\sin \theta_{max} - \sin \theta_{min}) = L \left( \frac{m \lambda_{max}}{d} - \frac{m \lambda_{min}}{d} \right) = \frac{m L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})
]
Здесь (m=1), так как речь идёт о первом порядке:
[
\Delta x = \frac{L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})
]
Обратим внимание, что длина спектра на экране — это разница между двумя длинами ярко выраженных областей:
[
D = x_{max} - x_{min} \approx \Delta x
]
Так как (\sin \theta \approx \theta), то:
[
D = \frac{L}{d} (\lambda_{max} - \lambda_{min})
]
И наоборот, из этого:
[
d = \frac{L (\lambda_{max} - \lambda_{min})}{D}
]
Шаг 3. Подстановка числовых значений:
- (\lambda_{max} = 756,\text{нм} = 756 \times 10^{-9},м)
- (\lambda_{min} = 397,\text{нм} = 397 \times 10^{-9},м)
- (D = 0,1,м)
- (L = 1,6,м)
Расчёт:
[
d = \frac{1,6 \times (756 \times 10^{-9} - 397 \times 10^{-9})}{0,1}
]
Находим разницу в длинах волн:
[
756 \times 10^{-9} - 397 \times 10^{-9} = (756 - 397) \times 10^{-9} = 359 \times 10^{-9},м
]
Подставляем:
[
d = \frac{1,6 \times 359 \times 10^{-9}}{0,1} = \frac{1,6 \times 359 \times 10^{-9}}{0,1}
]
Выполняем умножение чисел:
[
d = \frac{1,6 \times 359 \times 10^{-9}}{0,1} = 1,6 \times 359 \times 10^{-9} \times 10 = 1,6 \times 359 \times 10^{-8}
]
[
d \approx 1,6 \times 359 \times 10^{-8} = (1,6 \times 359) \times 10^{-8} \approx 574,4 \times 10^{-8}
]
Или:
[
d \approx 5,744 \times 10^{-6},м
]
То есть, период дифракционной решётки:
[
\boxed{
d \approx 5,74,\mu m
}
]
Итог:
Период дифракционной решётки примерно равен (\boxed{5,74,\mu m}).
Если нужно, я могу помочь объяснить ещё детали.
