Реши правильно

Давайте решим систему неравенств шаг за шагом. Нам даны два неравенства: 1) \( 15x^2 - 103x + 102 \leq 0 \) 2) \( 21x^2 - 82x - 39 \leq 0 \) Нужно найти количество целых значений \( x \), при которых оба неравенства одновременно выполняются. --- ### Шаг 1: Решение первого неравенства \( 15x^2 - 103x + 102 \leq 0 \) Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни уравнения: \[ 15x^2 - 103x + 102 = 0 \] Используем формулу для нахождения корней квадратичного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] где: - \( a = 15 \) - \( b = -103 \) - \( c = 102 \) Теперь подсчитаем дискриминант: \[ D_1 = (-103)^2 - 4 \times 15 \times 102 = 10609 - 6120 = 4489 \] Дискриминант \( D_1 = 4489 \), он положителен, следовательно, есть два корня: \[ x_{1,2} = \frac{103 \pm \sqrt{4489}}{2 \times 15} \] Так как \( \sqrt{4489} = 67 \) (поскольку \( 67^2 = 4489 \)), получим: \[ x_{1,2} = \frac{103 \pm 67}{30} \] Посчитаем два корня: - При \( + \): \[ x_1 = \frac{103 + 67}{30} = \frac{170}{30} = \frac{17}{3} \approx 5.666\dots \] - При \( - \): \[ x_2 = \frac{103 - 67}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 1.2 \] Поскольку коэффициент \( a = 15 > 0 \), парабола «горизонтальна вверх», и неравенство \( \leq 0 \) выполняется на интервале между корнями: \[ x \in \left[ \frac{6}{5}, \frac{17}{3} \right] \quad \text{или примерно} \quad [1.2, 5.666\dots] \] --- ### Шаг 2: Решение второго неравенства \( 21x^2 - 82x - 39 \leq 0 \) Определим корни: \[ 21x^2 - 82x - 39 = 0 \] Дискриминант: \[ D_2 = (-82)^2 - 4 \times 21 \times (-39) = 6724 + 3276 = 10000 \] Найдем корни: \[ x_{3,4} = \frac{82 \pm \sqrt{10000}}{2 \times 21} \] где \( \sqrt{10000} = 100 \), \[ x_{3,4} = \frac{82 \pm 100}{42} \] Рассмотрим оба варианта: - При \( + \): \[ x_3 = \frac{82 + 100}{42} = \frac{182}{42} = \frac{91}{21} \approx 4.333\dots \] - При \( - \): \[ x_4 = \frac{82 - 100}{42} = \frac{-18}{42} = -\frac{3}{7} \approx -0.429 \] Парабола с \( a = 21 > 0 \) и неравенство \( \leq 0 \) выполняется между корнями: \[ x \in \left[ -\frac{3}{7}, \frac{91}{21} \right] \quad \text{или примерно} \quad [-0.429, 4.333] \] --- ### Шаг 3: Нахождение пересечения интервалов Первоочередная задача — найти общую область, где оба неравенства выполняются одновременно. То есть, найти пересечение интервалов: - \( \left[ 1.2, 5.666 \right] \) (первый неравенство) - \( \left[ -0.429, 4.333 \right] \) (второй неравенство) Пересечение: \[ \left[ \max(1.2, -0.429), \min(5.666, 4.333) \right] = [1.2, 4.333] \] Получаем диапазон \( x \in [1.2, 4.333] \). --- ### Шаг 4: Подсчет целых значений внутри этого диапазона Целые числа, которые лежат в диапазоне \( [1.2, 4.333] \): \[ x = 2, 3, 4 \] Итого, **3 целых значения**. --- ### **Ответ:** \[ \boxed{3} \] Целых значений \( x \), удовлетворяющих обеим неравенствам: **2, 3, 4**.