реши правильно
Давайте решим систему неравенств шаг за шагом.
Нам даны два неравенства:
\( 15x^2 - 103x + 102 \leq 0 \)
\( 21x^2 - 82x - 39 \leq 0 \)
Нужно найти количество целых значений \( x \), при которых оба неравенства одновременно выполняются.
Шаг 1: Решение первого неравенства \( 15x^2 - 103x + 102 \leq 0 \)
Это квадратичное неравенство. Для его решения найдем корни уравнения:
\[ 15x^2 - 103x + 102 = 0 \]
Используем формулу для нахождения корней квадратичного уравнения:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где:
- \( a = 15 \)
- \( b = -103 \)
- \( c = 102 \)
Теперь подсчитаем дискриминант:
\[ D_1 = (-103)^2 - 4 \times 15 \times 102 = 10609 - 6120 = 4489 \]
Дискриминант \( D_1 = 4489 \), он положителен, следовательно, есть два корня:
\[ x_{1,2} = \frac{103 \pm \sqrt{4489}}{2 \times 15} \]
Так как \( \sqrt{4489} = 67 \) (поскольку \( 67^2 = 4489 \)), получим:
\[ x_{1,2} = \frac{103 \pm 67}{30} \]
Посчитаем два корня:
- При \( + \):
\[ x_1 = \frac{103 + 67}{30} = \frac{170}{30} = \frac{17}{3} \approx 5.666\dots \]
- При \( - \):
\[ x_2 = \frac{103 - 67}{30} = \frac{36}{30} = \frac{6}{5} = 1.2 \]
Поскольку коэффициент \( a = 15 > 0 \), парабола «горизонтальна вверх», и неравенство \( \leq 0 \) выполняется на интервале между корнями:
\[ x \in \left[ \frac{6}{5}, \frac{17}{3} \right] \quad \text{или примерно} \quad [1.2, 5.666\dots] \]
Шаг 2: Решение второго неравенства \( 21x^2 - 82x - 39 \leq 0 \)
Определим корни:
\[ 21x^2 - 82x - 39 = 0 \]
Дискриминант:
\[ D_2 = (-82)^2 - 4 \times 21 \times (-39) = 6724 + 3276 = 10000 \]
Найдем корни:
\[ x_{3,4} = \frac{82 \pm \sqrt{10000}}{2 \times 21} \]
где \( \sqrt{10000} = 100 \),
\[ x_{3,4} = \frac{82 \pm 100}{42} \]
Рассмотрим оба варианта:
- При \( + \):
\[ x_3 = \frac{82 + 100}{42} = \frac{182}{42} = \frac{91}{21} \approx 4.333\dots \]
- При \( - \):
\[ x_4 = \frac{82 - 100}{42} = \frac{-18}{42} = -\frac{3}{7} \approx -0.429 \]
Парабола с \( a = 21 > 0 \) и неравенство \( \leq 0 \) выполняется между корнями:
\[ x \in \left[ -\frac{3}{7}, \frac{91}{21} \right] \quad \text{или примерно} \quad [-0.429, 4.333] \]
Шаг 3: Нахождение пересечения интервалов
Первоочередная задача — найти общую область, где оба неравенства выполняются одновременно. То есть, найти пересечение интервалов:
- \( \left[ 1.2, 5.666 \right] \) (первый неравенство)
- \( \left[ -0.429, 4.333 \right] \) (второй неравенство)
Пересечение:
\[ \left[ \max(1.2, -0.429), \min(5.666, 4.333) \right] = [1.2, 4.333] \]
Получаем диапазон \( x \in [1.2, 4.333] \).
Шаг 4: Подсчет целых значений внутри этого диапазона
Целые числа, которые лежат в диапазоне \( [1.2, 4.333] \):
\[ x = 2, 3, 4 \]
Итого, 3 целых значения.
Ответ:
\[ \boxed{3} \]
Целых значений \( x \), удовлетворяющих обеим неравенствам: 2, 3, 4.
