Середины сторон прямоугольника АВСD являются вершинами четырехугольника MNPK. Периметр прямоугольника равен 40 см, одна сторона в три раза больше другой. Из прямо-угольника случайным образом выбирается точка. Найдите вероятность того, что она принад-лежит четырехугольнику MNPK.

Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап. --- **Дано:** - Прямоугольник ABCD с периметром 40 см. - Одна сторона в три раза длиннее другой. - Многоугольник MNPK образован серединами сторон ABCD. - Из прямоугольника случайно выбирается точка. - Нужно найти вероятность того, что точка принадлежит четырёхугольнику MNPK. --- ### Шаг 1. Найдем размеры прямоугольника ABCD Обозначим: - длину одной стороны — \( x \) см, - другую — \( y \) см. Из условия: - Периметр: \[ 2(x + y) = 40 \implies x + y = 20 \] - Одна сторона в три раза больше другой: Пусть \( y = 3x \). Тогда: \[ x + 3x = 20 \implies 4x = 20 \implies x = 5 \, \text{см} \] Следовательно: \[ y = 3 \times 5 = 15 \, \text{см} \] **Таким образом:** - \( AB = 5 \) см, - \( BC = 15 \) см, - \( CD = 5 \) см, - \( DA = 15 \) см. --- ### Шаг 2. Определим координаты вершин Для удобства выберем координатную систему: - \( A = (0, 0) \), - \( B = (5, 0) \), - \( C = (5, 15) \), - \( D = (0, 15) \). --- ### Шаг 3. Найдём середины сторон - \( M \) — середина \( AB \): \[ M = \left(\frac{0+5}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2.5, 0) \] - \( N \) — середина \( BC \): \[ N = \left(\frac{5+5}{2}, \frac{0+15}{2}\right) = (5, 7.5) \] - \( P \) — середина \( CD \): \[ P = \left(\frac{5+0}{2}, \frac{15+15}{2}\right) = (2.5, 15) \] - \( K \) — середина \( DA \): \[ K = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{15+0}{2}\right) = (0, 7.5) \] --- ### Шаг 4. Построим многоугольник MNPK Он будет иметь вершины: - \( M = (2.5, 0) \), - \( N = (5, 7.5) \), - \( P = (2.5, 15) \), - \( K = (0, 7.5) \). Последовательность: \( M \rightarrow N \rightarrow P \rightarrow K \rightarrow M \). --- ### Шаг 5. Найдем площадь многоугольника MNPK Используем формулу Пуассона для многоугольников: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1 - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_4 + y_4 x_1) \right| \] Подставим координаты: - \( M = (2.5, 0) \), - \( N = (5, 7.5) \), - \( P = (2.5, 15) \), - \( K = (0, 7.5) \). Выполняем вычисление: \[ S = \frac{1}{2} | (2.5 \times 7.5 + 5 \times 15 + 2.5 \times 7.5 + 0 \times 0) - (0 \times 5 + 7.5 \times 2.5 + 15 \times 0 + 7.5 \times 2.5) | \] Рассчитаем пошагово: \[ \text{Первое слагаемое:} \quad 2.5 \times 7.5 = 18.75 \] \[ 5 \times 15 = 75 \] \[ 2.5 \times 7.5 = 18.75 \] \[ 0 \times 0 = 0 \] Сумма: \( 18.75 + 75 + 18.75 + 0 = 112.5 \) Теперь второе слагаемое: \[ 0 \times 5 = 0 \] \[ 7.5 \times 2.5 = 18.75 \] \[ 15 \times 0 = 0 \] \[ 7.5 \times 2.5 = 18.75 \] Сумма: \( 0 + 18.75 + 0 + 18.75 = 37.5 \) Общая площадь: \[ S = \frac{1}{2} |112.5 - 37.5| = \frac{1}{2} \times 75 = 37.5 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 6. Найдем площадь всего прямоугольника Площадь: \[ S_{ABCD} = x \times y = 5 \times 15 = 75 \text{ см}^2 \] --- ### Шаг 7. Найдем вероятность Вероятность тех точек внутри многоугольника MNPK относительно всей площади прямоугольника равна: \[ P = \frac{S_{\text{MNPK}}}{S_{ABCD}} = \frac{37.5}{75} = 0.5 \] или **50%**. --- ## Итог: **Ответ:** вероятность того, что случайно выбранная точка из прямоугольника принадлежит четырёхугольнику MNPK, равна **0,5** или **50%**. --- Если потребуется более детальное объяснение или есть вопросы — пишите!