Середины сторон прямоугольника АВСD являются вершинами четырехугольника MNPK. Периметр прямоугольника равен 40 см, одна сторона в три раза больше другой. Из прямо-угольника…

Рассмотрим задачу по шагам и подробно объясним каждый этап.

---

Дано:

• Прямоугольник ABCD с периметром 40 см.
• Одна сторона в три раза длиннее другой.
• Многоугольник MNPK образован серединами сторон ABCD.
• Из прямоугольника случайно выбирается точка.
• Нужно найти вероятность того, что точка принадлежит четырёхугольнику MNPK.

---

Шаг 1. Найдем размеры прямоугольника ABCD

Обозначим:

• длину одной стороны — \( x \) см,
• другую — \( y \) см.

Из условия:

• Периметр: \[ 2(x + y) = 40 \implies x + y = 20 \]

• Одна сторона в три раза больше другой:

  Пусть \( y = 3x \).

  Тогда: \[ x + 3x = 20 \implies 4x = 20 \implies x = 5 \, \text{см} \] Следовательно: \[ y = 3 \times 5 = 15 \, \text{см} \]

Таким образом:

• \( AB = 5 \) см,
• \( BC = 15 \) см,
• \( CD = 5 \) см,
• \( DA = 15 \) см.

---

Шаг 2. Определим координаты вершин

Для удобства выберем координатную систему:

• \( A = (0, 0) \),
• \( B = (5, 0) \),
• \( C = (5, 15) \),
• \( D = (0, 15) \).

---

Шаг 3. Найдём середины сторон

• \( M \) — середина \( AB \): \[ M = \left(\frac{0+5}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = (2.5, 0) \]
• \( N \) — середина \( BC \): \[ N = \left(\frac{5+5}{2}, \frac{0+15}{2}\right) = (5, 7.5) \]
• \( P \) — середина \( CD \): \[ P = \left(\frac{5+0}{2}, \frac{15+15}{2}\right) = (2.5, 15) \]
• \( K \) — середина \( DA \): \[ K = \left(\frac{0+0}{2}, \frac{15+0}{2}\right) = (0, 7.5) \]

---

Шаг 4. Построим многоугольник MNPK

Он будет иметь вершины:

• \( M = (2.5, 0) \),
• \( N = (5, 7.5) \),
• \( P = (2.5, 15) \),
• \( K = (0, 7.5) \).

Последовательность: \( M \rightarrow N \rightarrow P \rightarrow K \rightarrow M \).

---

Шаг 5. Найдем площадь многоугольника MNPK

Используем формулу Пуассона для многоугольников:

\[ S = \frac{1}{2} \left| x_1 y_2 + x_2 y_3 + x_3 y_4 + x_4 y_1 - (y_1 x_2 + y_2 x_3 + y_3 x_4 + y_4 x_1) \right| \]

Подставим координаты:

• \( M = (2.5, 0) \),
• \( N = (5, 7.5) \),
• \( P = (2.5, 15) \),
• \( K = (0, 7.5) \).

Выполняем вычисление:

\[ S = \frac{1}{2} | (2.5 \times 7.5 + 5 \times 15 + 2.5 \times 7.5 + 0 \times 0) - (0 \times 5 + 7.5 \times 2.5 + 15 \times 0 + 7.5 \times 2.5) | \]

Рассчитаем пошагово:

\[ \text{Первое слагаемое:} \quad 2.5 \times 7.5 = 18.75 \] \[ 5 \times 15 = 75 \] \[ 2.5 \times 7.5 = 18.75 \] \[ 0 \times 0 = 0 \] Сумма: \( 18.75 + 75 + 18.75 + 0 = 112.5 \)

Теперь второе слагаемое:

\[ 0 \times 5 = 0 \] \[ 7.5 \times 2.5 = 18.75 \] \[ 15 \times 0 = 0 \] \[ 7.5 \times 2.5 = 18.75 \]

Сумма: \( 0 + 18.75 + 0 + 18.75 = 37.5 \)

Общая площадь:

\[ S = \frac{1}{2} |112.5 - 37.5| = \frac{1}{2} \times 75 = 37.5 \text{ см}^2 \]

---

Шаг 6. Найдем площадь всего прямоугольника

Площадь:

\[ S_{ABCD} = x \times y = 5 \times 15 = 75 \text{ см}^2 \]

---

Шаг 7. Найдем вероятность

Вероятность тех точек внутри многоугольника MNPK относительно всей площади прямоугольника равна:

\[ P = \frac{S_{\text{MNPK}}}{S_{ABCD}} = \frac{37.5}{75} = 0.5 \]

или 50%.

---

Итог:

Ответ: вероятность того, что случайно выбранная точка из прямоугольника принадлежит четырёхугольнику MNPK, равна 0,5 или 50%.

---

Если потребуется более детальное объяснение или есть вопросы — пишите!