Петя выписал по возрастанию все 8-значные числа, обладающие следующим свойством: сумма последних (крайне правых) четырёх разрядов равна 36, сумма центральных четырёх разрядов в…

Давайте разберём задачу шаг за шагом и найдём всё 8-значные числа, которые соответствуют заданным условиям.

Обозначим разряды числа как \(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8\), где каждая буква — цифра числа.

Условие 1:

Сумма последних четырёх цифр равна 36: \[ a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 36 \]

Условие 2:

Сумма центральных четырёх цифр в два раза меньше суммы последних четырёх:

Обозначим центральные четыре как \(a_3, a_4, a_5, a_6\): \[ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \frac{1}{2} \times (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \]

Условие 3:

Сумма первых четырёх цифр в три раза меньше суммы последних четырёх:

Обозначим первые четыре \(a_1, a_2, a_3, a_4\): \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \frac{1}{3} \times (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) = \frac{1}{3} \times 36 = 12 \]

---

Теперь у нас есть система уравнений:

\[ \begin{cases} a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 36 \quad (1) \\ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 18 \quad (2) \\ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 12 \quad (3) \end{cases} \]

Анализируем уравнения:

Из (2):

\[ a_3 + a_4 = 18 - (a_5 + a_6) \]

Из (3):

\[ a_1 + a_2 = 12 - (a_3 + a_4) \]

Но подставим \(a_3 + a_4\) из (2):

\[ a_1 + a_2 = 12 - [18 - (a_5 + a_6)] = 12 - 18 + a_5 + a_6 = (a_5 + a_6) - 6 \]

Обозначим:

\[ S_5 = a_5 + a_6, \quad S_{78} = a_7 + a_8 \]

Из (1):

\[ S_5 + a_7 + a_8 = 36 \Rightarrow S_5 + S_{78} = 36 \]

Также из этого:

\[ a_7 + a_8 = S_{78} = 36 - S_5 \]

Из уравнений для суммы первых двух и последних двух цифр:

• \(a_1 + a_2 = S_{12} = S_5 - 6\)

• \(a_7 + a_8 = S_{78} = 36 - S_5\)

Оценки возможных значений:

Цифры должны быть от 0 до 9, а для первых разрядов числа — не 0 (ведь число 8-значное).

• \(a_1 \geq 1\)
• \(a_2 \geq 0\)

Из условий для сумм:

\[ a_1 + a_2 = S_{12} = S_5 - 6 \] И поскольку сумма двух цифр не может превысить 9+9=18:

\[ 0 \leq S_{12} \leq 18 \]

Также:

\[ a_7 + a_8 = 36 - S_5 \] И эта сумма тоже не может превышать 18.

Но, поскольку \(a_7, a_8 \leq 9\), то:

\[ S_{78} \leq 18 \]

Следовательно, \(36 - S_5 \leq 18\):

\[ 36 - S_5 \leq 18 \Rightarrow S_5 \geq 18 \]

Но \(a_5, a_6 \leq 9\), значит \(S_5 = a_5 + a_6 \leq 18\).

Таким образом, \(S_5\) может быть равно 18.

Итак:

\[ S_5 = 18 \] \[ a_7 + a_8 = 36 - 18 = 18 \]

При этом:

\[ a_3 + a_4 = 18 - S_5 = 0 \] Значит:

\[ a_3 = 0, \quad a_4 = 0 \]

И:

\[ a_1 + a_2 = S_{12} = S_5 - 6 = 18 - 6 = 12 \]

Теперь у нас есть:

• \(a_5 + a_6 = 18\), цифры каждый ≤ 9, их сумма = 18, значит оба равны 9:

\[ a_5 = 9, \quad a_6 = 9 \]

• \(a_7 + a_8 = 18\), аналогично, оба равны 9:

\[ a_7= 9, \quad a_8= 9 \]

• \(a_3=0, a_4=0\)

• \(a_1 + a_2 = 12\), цифры не больше 9, возможные пары:

  • \(a_1=9, a_2=3\)
  • \(a_1=8, a_2=4\)
  • \(a_1=7, a_2=5\)
  • \(a_1=6, a_2=6\)
  • \(a_1=5, a_2=7\)
  • \(a_1=4, a_2=8\)
  • \(a_1=3, a_2=9\)

Но поскольку число 8-значное и \(a_1 \geq 1\), все эти варианты допустимы.

---

Теперь, составим числа и отсортируем:

Наиболее маленькое число — при минимальных значениях \(a_1\), при этом \(a_1 \geq 1\):

1. \(a_1=3, a_2=9, a_3=0, a_4=0, a_5=9, a_6=9, a_7=9, a_8=9\)

   Число: 390009999

2. Следующее — при \(a_1=4, a_2=8\):

   Число: 480009999

3. Затем — \(a_1=5, a_2=7\):

   Число: 570009999

4. \(a_1=6, a_2=6\):

   Число: 660009999

5. \(a_1=7, a_2=5\):

   Число: 750009999

6. \(a_1=8, a_2=4\):

   Число: 840009999

7. \(a_1=9, a_2=3\):

   Число: 930009999

---

Итог:

Пятый по порядку — это число 750009999, а шестой — это 840009999.

Ответ:

\[ \boxed{840009999} \]

Это — шестое число Петина по порядку.