Петя выписал по возрастанию все 8-значные числа, обладающие следующим свойством: сумма последних (крайне правых) четырёх разрядов равна 36, сумма центральных четырёх разрядов в два раза меньше, а сумма первых четырех разрядов в три раза меньше суммы крайне правых разрядов. Напиши шестое по счёту Петино число.

Давайте разберём задачу шаг за шагом и найдём всё 8-значные числа, которые соответствуют заданным условиям. Обозначим разряды числа как \(a_1 a_2 a_3 a_4 a_5 a_6 a_7 a_8\), где каждая буква — цифра числа. ### Условие 1: Сумма последних четырёх цифр равна 36: \[ a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 36 \] ### Условие 2: Сумма центральных четырёх цифр в два раза меньше суммы последних четырёх: Обозначим центральные четыре как \(a_3, a_4, a_5, a_6\): \[ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \frac{1}{2} \times (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) = \frac{1}{2} \times 36 = 18 \] ### Условие 3: Сумма первых четырёх цифр в три раза меньше суммы последних четырёх: Обозначим первые четыре \(a_1, a_2, a_3, a_4\): \[ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = \frac{1}{3} \times (a_5 + a_6 + a_7 + a_8) = \frac{1}{3} \times 36 = 12 \] --- Теперь у нас есть система уравнений: \[ \begin{cases} a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = 36 \quad (1) \\ a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = 18 \quad (2) \\ a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = 12 \quad (3) \end{cases} \] ### Анализируем уравнения: Из (2): \[ a_3 + a_4 = 18 - (a_5 + a_6) \] Из (3): \[ a_1 + a_2 = 12 - (a_3 + a_4) \] Но подставим \(a_3 + a_4\) из (2): \[ a_1 + a_2 = 12 - [18 - (a_5 + a_6)] = 12 - 18 + a_5 + a_6 = (a_5 + a_6) - 6 \] Обозначим: \[ S_5 = a_5 + a_6, \quad S_{78} = a_7 + a_8 \] Из (1): \[ S_5 + a_7 + a_8 = 36 \Rightarrow S_5 + S_{78} = 36 \] Также из этого: \[ a_7 + a_8 = S_{78} = 36 - S_5 \] Из уравнений для суммы первых двух и последних двух цифр: - \(a_1 + a_2 = S_{12} = S_5 - 6\) - \(a_7 + a_8 = S_{78} = 36 - S_5\) ### Оценки возможных значений: Цифры должны быть от 0 до 9, а для первых разрядов числа — не 0 (ведь число 8-значное). - \(a_1 \geq 1\) - \(a_2 \geq 0\) Из условий для сумм: \[ a_1 + a_2 = S_{12} = S_5 - 6 \] И поскольку сумма двух цифр не может превысить 9+9=18: \[ 0 \leq S_{12} \leq 18 \] Также: \[ a_7 + a_8 = 36 - S_5 \] И эта сумма тоже не может превышать 18. Но, поскольку \(a_7, a_8 \leq 9\), то: \[ S_{78} \leq 18 \] Следовательно, \(36 - S_5 \leq 18\): \[ 36 - S_5 \leq 18 \Rightarrow S_5 \geq 18 \] Но \(a_5, a_6 \leq 9\), значит \(S_5 = a_5 + a_6 \leq 18\). Таким образом, \(S_5\) может быть равно 18. **Итак:** \[ S_5 = 18 \] \[ a_7 + a_8 = 36 - 18 = 18 \] При этом: \[ a_3 + a_4 = 18 - S_5 = 0 \] Значит: \[ a_3 = 0, \quad a_4 = 0 \] И: \[ a_1 + a_2 = S_{12} = S_5 - 6 = 18 - 6 = 12 \] Теперь у нас есть: - \(a_5 + a_6 = 18\), цифры каждый ≤ 9, их сумма = 18, значит оба равны 9: \[ a_5 = 9, \quad a_6 = 9 \] - \(a_7 + a_8 = 18\), аналогично, оба равны 9: \[ a_7= 9, \quad a_8= 9 \] - \(a_3=0, a_4=0\) - \(a_1 + a_2 = 12\), цифры не больше 9, возможные пары: - \(a_1=9, a_2=3\) - \(a_1=8, a_2=4\) - \(a_1=7, a_2=5\) - \(a_1=6, a_2=6\) - \(a_1=5, a_2=7\) - \(a_1=4, a_2=8\) - \(a_1=3, a_2=9\) Но поскольку число 8-значное и \(a_1 \geq 1\), все эти варианты допустимы. --- ### Теперь, составим числа и отсортируем: Наиболее маленькое число — при минимальных значениях \(a_1\), при этом \(a_1 \geq 1\): 1. \(a_1=3, a_2=9, a_3=0, a_4=0, a_5=9, a_6=9, a_7=9, a_8=9\) Число: **390009999** 2. Следующее — при \(a_1=4, a_2=8\): Число: **480009999** 3. Затем — \(a_1=5, a_2=7\): Число: **570009999** 4. \(a_1=6, a_2=6\): Число: **660009999** 5. \(a_1=7, a_2=5\): Число: **750009999** 6. \(a_1=8, a_2=4\): Число: **840009999** 7. \(a_1=9, a_2=3\): Число: **930009999** --- ### Итог: Пятый по порядку — это число **750009999**, а шестой — это **840009999**. **Ответ:** \[ \boxed{840009999} \] **Это — шестое число Петина по порядку.**