Сумма второго и шестого членов убывающей арифметической прогрессии равна -2. Произведение третьего и пятого ее членов равно -15. Найдите первый член этой прогрессии.
Давайте решим задачу шаг за шагом.
Обозначим:
- первый член прогрессии — \( a \),
- разность — \( d \),
- так как прогрессия убывающая, то \( d < 0 \).
Тогда члены прогрессии записываются так:
- 1-й член: \( a \),
- 2-й член: \( a + d \),
- 3-й член: \( a + 2d \),
- 4-й член: \( a + 3d \),
- 5-й член: \( a + 4d \),
- 6-й член: \( a + 5d \).
На основе данных условия составим уравнения:
Условие 1: сумма второго и шестого члена равна -2
\[ (a + d) + (a + 5d) = -2 \] \[ 2a + 6d = -2 \] (Уравнение 1)
Условие 2: произведение третьего и пятого члена равно -15
\[ (a + 2d)(a + 4d) = -15 \] (Уравнение 2)
Теперь решим систему уравнений.
Шаг 1. Упростим уравнение 1
\[ 2a + 6d = -2 \] Разделим обе части на 2: \[ a + 3d = -1 \] Следовательно, \[ a = -1 - 3d \]
Шаг 2. Подставим \( a \) в уравнение 2
\[ (-1 - 3d + 2d)(-1 - 3d + 4d) = -15 \]
Упростим выражения внутри скобок: \[ (-1 - d)(-1 + d) = -15 \]
Раскроем скобки: \[ (-1)(-1) + (-1)(d) + (-d)(-1) + (-d)(d) = -15 \] \[ 1 - d + d - d^2 = -15 \]
Обратите внимание, что \( -d + d = 0 \), так что остается: \[ 1 - d^2 = -15 \]
Перенесем — получим: \[ - d^2 = -15 - 1 \] \[ - d^2 = -16 \]
Умножим обе части на -1: \[ d^2 = 16 \]
Следовательно, \[ d = \pm 4 \]
Шаг 3. Найдём \( a \)
Если \( d = 4 \): \[ a = -1 - 3 \times 4 = -1 - 12 = -13 \]
Если \( d = -4 \): \[ a = -1 - 3 \times (-4) = -1 + 12 = 11 \]
Итог:
- Первый член прогрессии при \( d = 4 \): \( a = -13 \),
- Первый член прогрессии при \( d = -4 \): \( a = 11 \).
Ответ:
Первый член прогрессии может быть или \(-13\), или \(11\), в зависимости от разности \( d \).
