В прямоугольном треугольнике один из катетеров равен b, а противолежащий угол равен В. Найдите другой катет треугольника и гипотенузу, если: а) b = 10, <B - 45°; 6) b =15, <B=…

Давайте решим каждую задачу по очереди, подробно объясняя каждый шаг.

Общие данные для решения

• \( b \) — длина одного из катетов.
• \( \angle B \) — противолежащий угол к катету \( b \).
• В прямоугольном треугольнике сумма углов равна 180°, и один из них — прямой (90°).

Обозначения:

• \( a \) — другой катет, который нужно найти.
• \( c \) — гипотенуза (противоположная прямому углу).

Задача 1: \( b=10 \), \( \angle B =45^\circ \)

Шаг 1: Найдём катет \( a \)

В треугольнике по определённому углу \( \angle B = 45^\circ \):

• отношение противоположного катета \( a \) к гипотенузе \( c \): \[ \sin 45^\circ = \frac{b}{c} \] Но так как \( b \) — противоположный этому углу, то: \[ \sin 45^\circ = \frac{b}{c} \] Следовательно: \[ c = \frac{b}{\sin 45^\circ} \]

Шаг 2: Найдём гипотенузу \( c \)

Значение: \[ \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Подставляем: \[ c = \frac{10}{\sqrt{2}/2} = 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \times \frac{2}{\sqrt{2}} = 10 \times \frac{\sqrt{2}}{1} = 10 \sqrt{2} \]

Итак: \[ c = 10 \sqrt{2} \]

Шаг 3: Найдём другой катет \( a \)

Используем функцию котангенса: \[ \tan \angle B = \frac{a}{b} \] или \[ a = b \times \tan \angle B \] Значение: \[ \tan 45^\circ = 1 \] Следовательно: \[ a = 10 \times 1 = 10 \]

Итеверный ответ для задачи 1:

• Другой катет: \(\boxed{a = 10}\)
• Гипотенуза: \(\boxed{c = 10 \sqrt{2}}\)

Задача 2: \( b=15 \), \( \angle B=60^\circ \)

Шаг 1: Гипотенуза \( c \)

Используем ту же формулу: \[ c = \frac{b}{\sin 60^\circ} \] Значения: \[ \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Подставляем: \[ c = \frac{15}{\sqrt{3}/2} = 15 \times \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{30}{\sqrt{3}} = 10 \sqrt{3} \]

Шаг 2: Другой катет \( a \)

Используем функцию тангенса (противолежащий/прилежащий): \[ a = b \times \tan \angle B \] Значение: \[ \tan 60^\circ = \sqrt{3} \] Следовательно: \[ a = 15 \times \sqrt{3} \]

Итог для задачи 2:

• Другой катет: \(\boxed{a = 15 \sqrt{3}}\)
• Гипотенуза: \(\boxed{c = 10 \sqrt{3}}\)

Задача 3: \( b=3 \sqrt{3} \), \( \angle B=30^\circ \)

Шаг 1: Гипотенуза \( c \)

Формула: \[ c = \frac{b}{\sin 30^\circ} \] Значения: \[ \sin 30^\circ = \frac{1}{2} \] Подставляем: \[ c = \frac{3 \sqrt{3}}{1/2} = 3 \sqrt{3} \times 2 = 6 \sqrt{3} \]

Шаг 2: Другой катет \( a \)

Используем функцию тангенса: \[ a = b \times \tan 30^\circ \] Значения: \[ \tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}} \] Следовательно: \[ a = 3 \sqrt{3} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = 3 \]

Итог для задачи 3:

• Другой катет: \(\boxed{a=3}\)
• Гипотенуза: \(\boxed{c=6 \sqrt{3}}\)

Если понадобятся дополнительные объяснения, с радостью помогу!