Две бригады должны были отремонтировать по 10 км железнодорожных путей. Вторая бригада справилась с заданием на один день раньше первой. Известно, что вместе они ремонтировали по 4,5 км пути в день. Сколько километров пути ремонтировала в день каждая бригада?

Рассмотрим задачу поэтапно и подробно объясним решение. **Дано:** - Каждая бригада должна была отремонтировать по 10 км путей. - Вторая бригада справилась на один день раньше первой. - Совместно они ремонтировали в день по 4,5 км пути. - Нужно найти, сколько километров путей в день ремонтировала каждая бригада. --- ### Обозначения: Пусть: - \( t_1 \) — число дней, за которые работает первая бригада. - \( t_2 = t_1 - 1 \) — число дней, за которые работает вторая бригада. Пусть: - \( x \) — скорость (количество километров в день) первой бригады. - \( y \) — скорость (количество километров в день) второй бригады. --- ### Этап 1. Запишем уравнения, основываясь на условиях задачи: Расстояние, которое каждая бригада должна выполнить, равно 10 км: \[ \text{Первая бригада: } x \times t_1 = 10 \] \[ \text{Вторая бригада: } y \times t_2 = 10 \] или, подставляя \( t_2 = t_1 - 1 \): \[ x t_1 = 10 \quad ...(1) \] \[ y (t_1 - 1) = 10 \quad ...(2) \] --- ### Этап 2. Условие о дневной работе: Общее количество работ в день — сумма скоростей обеих бригад: \[ x + y = 4.5 \] --- ### Этап 3. Выразим \( x \) и \( y \) через \( t_1 \): Из (1): \[ x = \frac{10}{t_1} \] Из (2): \[ y = \frac{10}{t_1 - 1} \] Подставим в уравнение суммы скоростей: \[ \frac{10}{t_1} + \frac{10}{t_1 - 1} = 4.5 \] --- ### Этап 4. Решим получившееся уравнение относительно \( t_1 \): Запишем: \[ \frac{10}{t_1} + \frac{10}{t_1 - 1} = 4.5 \] Найдем общий знаменатель: \[ \frac{10(t_1 - 1) + 10 t_1}{t_1(t_1 - 1)} = 4.5 \] Раскроем числитель: \[ 10 t_1 - 10 + 10 t_1 = 20 t_1 - 10 \] Получим: \[ \frac{20 t_1 - 10}{t_1(t_1 - 1)} = 4.5 \] Перемножим обе части уравнения на знаменатель: \[ 20 t_1 - 10 = 4.5 \times t_1 (t_1 - 1) \] Раскроем правую часть: \[ 20 t_1 - 10 = 4.5 (t_1^2 - t_1) \] Запишем уравнение: \[ 20 t_1 - 10 = 4.5 t_1^2 - 4.5 t_1 \] Перенесем все в левую часть: \[ 0 = 4.5 t_1^2 - 4.5 t_1 - 20 t_1 + 10 \] Объединим подобные слагаемые: \[ 0 = 4.5 t_1^2 - 24.5 t_1 + 10 \] Упростим уравнение, разделив все на 0.5 для удобства: \[ 0 = 9 t_1^2 - 49 t_1 + 20 \] --- ### Этап 5. Решим квадратное уравнение: \[ 9 t_1^2 - 49 t_1 + 20 = 0 \] Посчитаем дискриминант \( D \): \[ D = (-49)^2 - 4 \times 9 \times 20 = 2401 - 720 = 1681 \] Корень дискриминанта: \[ \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 \] Решения: \[ t_1 = \frac{49 \pm 41}{2 \times 9} = \frac{49 \pm 41}{18} \] **Первый вариант:** \[ t_1 = \frac{49 + 41}{18} = \frac{90}{18} = 5 \] **Второй вариант:** \[ t_1 = \frac{49 - 41}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \] Поскольку \( t_1 \) — число дней, оно должно быть положительным и разумным для выполнения задачи: - \( t_1 = \frac{4}{9} \) — очень мало для завершения работы за одно прохождение, противоречит условию о сроках. - \( t_1 = 5 \) — более логично. --- ### Этап 6. Найдём скорости обеих бригад: Из (1): \[ x = \frac{10}{t_1} = \frac{10}{5} = 2 \text{ км/день} \] Из (2): \[ y = \frac{10}{t_1 - 1} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ км/день} \] --- ### **Ответ:** - Первая бригада ремонтировала по **2 км в день**. - Вторая бригада — по **2.5 км в день**. --- Если нужно более подробно — обращайтесь!