Две бригады должны были отремонтировать по 10 км железнодорожных путей. Вторая бригада справилась с заданием на один день раньше первой. Известно, что вместе они ремонтировали по…

Рассмотрим задачу поэтапно и подробно объясним решение.

Дано:

• Каждая бригада должна была отремонтировать по 10 км путей.
• Вторая бригада справилась на один день раньше первой.
• Совместно они ремонтировали в день по 4,5 км пути.
• Нужно найти, сколько километров путей в день ремонтировала каждая бригада.

---

Обозначения:

Пусть:

• \( t_1 \) — число дней, за которые работает первая бригада.
• \( t_2 = t_1 - 1 \) — число дней, за которые работает вторая бригада.

Пусть:

• \( x \) — скорость (количество километров в день) первой бригады.
• \( y \) — скорость (количество километров в день) второй бригады.

---

Этап 1. Запишем уравнения, основываясь на условиях задачи:

Расстояние, которое каждая бригада должна выполнить, равно 10 км:

\[ \text{Первая бригада: } x \times t_1 = 10 \] \[ \text{Вторая бригада: } y \times t_2 = 10 \]

или, подставляя \( t_2 = t_1 - 1 \):

\[ x t_1 = 10 \quad ...(1) \] \[ y (t_1 - 1) = 10 \quad ...(2) \]

---

Этап 2. Условие о дневной работе:

Общее количество работ в день — сумма скоростей обеих бригад:

\[ x + y = 4.5 \]

---

Этап 3. Выразим \( x \) и \( y \) через \( t_1 \):

Из (1):

\[ x = \frac{10}{t_1} \]

Из (2):

\[ y = \frac{10}{t_1 - 1} \]

Подставим в уравнение суммы скоростей:

\[ \frac{10}{t_1} + \frac{10}{t_1 - 1} = 4.5 \]

---

Этап 4. Решим получившееся уравнение относительно \( t_1 \):

Запишем:

\[ \frac{10}{t_1} + \frac{10}{t_1 - 1} = 4.5 \]

Найдем общий знаменатель:

\[ \frac{10(t_1 - 1) + 10 t_1}{t_1(t_1 - 1)} = 4.5 \]

Раскроем числитель:

\[ 10 t_1 - 10 + 10 t_1 = 20 t_1 - 10 \]

Получим:

\[ \frac{20 t_1 - 10}{t_1(t_1 - 1)} = 4.5 \]

Перемножим обе части уравнения на знаменатель:

\[ 20 t_1 - 10 = 4.5 \times t_1 (t_1 - 1) \]

Раскроем правую часть:

\[ 20 t_1 - 10 = 4.5 (t_1^2 - t_1) \]

Запишем уравнение:

\[ 20 t_1 - 10 = 4.5 t_1^2 - 4.5 t_1 \]

Перенесем все в левую часть:

\[ 0 = 4.5 t_1^2 - 4.5 t_1 - 20 t_1 + 10 \]

Объединим подобные слагаемые:

\[ 0 = 4.5 t_1^2 - 24.5 t_1 + 10 \]

Упростим уравнение, разделив все на 0.5 для удобства:

\[ 0 = 9 t_1^2 - 49 t_1 + 20 \]

---

Этап 5. Решим квадратное уравнение:

\[ 9 t_1^2 - 49 t_1 + 20 = 0 \]

Посчитаем дискриминант \( D \):

\[ D = (-49)^2 - 4 \times 9 \times 20 = 2401 - 720 = 1681 \]

Корень дискриминанта:

\[ \sqrt{D} = \sqrt{1681} = 41 \]

Решения:

\[ t_1 = \frac{49 \pm 41}{2 \times 9} = \frac{49 \pm 41}{18} \]

Первый вариант:

\[ t_1 = \frac{49 + 41}{18} = \frac{90}{18} = 5 \]

Второй вариант:

\[ t_1 = \frac{49 - 41}{18} = \frac{8}{18} = \frac{4}{9} \]

Поскольку \( t_1 \) — число дней, оно должно быть положительным и разумным для выполнения задачи:

• \( t_1 = \frac{4}{9} \) — очень мало для завершения работы за одно прохождение, противоречит условию о сроках.
• \( t_1 = 5 \) — более логично.

---

Этап 6. Найдём скорости обеих бригад:

Из (1):

\[ x = \frac{10}{t_1} = \frac{10}{5} = 2 \text{ км/день} \]

Из (2):

\[ y = \frac{10}{t_1 - 1} = \frac{10}{4} = 2.5 \text{ км/день} \]

---

Ответ:

• Первая бригада ремонтировала по 2 км в день.
• Вторая бригада — по 2.5 км в день.

---

Если нужно более подробно — обращайтесь!