игральную кость бросают дважды являются ли независимыми события М «на второй кости выпало больше двух очков» и N “сумма очков равна семи»? ответ объяснить
Рассмотрим задачу о двух бросках игральных костей и определим, являются ли два события независимыми:
- М: "На второй кости выпало больше двух очков"
- N: "Сумма очков равна семи"
Шаг 1: Обозначим события и их вероятности
Поле для понимания:
- Каждая кость — это стандартная шестигранная игральная кость с числами 1-6.
- При броске двух костей возможных исходов 36 (6×6).
Шаг 2: Вероятность события М
М: "На второй кости выпало больше двух очков"
Это значит, что во втором броске выпало число 3, 4, 5 или 6.
Вероятность для второго броска:
\[ P(M) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Поскольку броски независимы, вероятность не зависит от первого броска.
Шаг 3: Вероятность события N
N: "Сумма очков равна семи"
Это означает, что сумма двух выпавших чисел равна 7.
Все возможные комбинации, дающие сумму 7:
\[ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \]
Всего 6 вариантов из 36 исходов.
Вероятность:
\[ P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \]
Шаг 4: Вероятность совместного события \( P(M \cap N) \)
Нам нужно найти вероятность того, что "на второй кости больше двух очков" и "сумма равна 7".
Подробно:
- Условие М: второй бросок — 3, 4, 5 или 6.
- Условие N: сумма равна 7.
Рассмотрим все возможные комбинации, дающие сумму 7, и проверим, в каких из них второй бросок > 2:
| Первый бросок | Второй бросок | Сумма | Вторая > 2? | Входит ли в M? |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 6 | 7 | Да | Да |
| 2 | 5 | 7 | Да | Да |
| 3 | 4 | 7 | Да | Да |
| 4 | 3 | 7 | Да | Да |
| 5 | 2 | 7 | Нет | Нет |
| 6 | 1 | 7 | Нет | Нет |
Из таблицы видно, что 4 исхода подходят (они и будут совместными исходами \( M \cap N \)):
\[ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3) \]
Общее число всех исходов с sum=7: 6.
Количество исходов, совмещающих оба события:
\[ 4 \]
Вероятность совместного события:
\[ P(M \cap N) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \]
Шаг 5: Проверка независимости
Два события \( M \) и \( N \) — независимы, если:
\[ P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \]
Вычислим правую часть:
\[ P(M) \times P(N) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \]
Получаем:
\[ P(M \cap N) = \frac{1}{9} \]
и
\[ P(M) \times P(N) = \frac{1}{9} \]
Они равны, значит:
После вычислений можно сделать вывод, что события М и N — независимы.
Итог:
Да, события "на второй кости выпало больше двух очков" и "сумма равна семи" — независимы.
