Игральную кость бросают дважды являются ли независимыми события М «на второй кости выпало больше двух очков» и N “сумма очков равна семи»? ответ объяснить

Рассмотрим задачу о двух бросках игральных костей и определим, являются ли два события независимыми: - М: "На второй кости выпало больше двух очков" - N: "Сумма очков равна семи" **Шаг 1: Обозначим события и их вероятности** **Поле для понимания:** - Каждая кость — это стандартная шестигранная игральная кость с числами 1-6. - При броске двух костей возможных исходов 36 (6×6). --- **Шаг 2: Вероятность события М** М: "На второй кости выпало больше двух очков" Это значит, что во втором броске выпало число 3, 4, 5 или 6. Вероятность для второго броска: \[ P(M) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \] Поскольку броски независимы, вероятность не зависит от первого броска. --- **Шаг 3: Вероятность события N** N: "Сумма очков равна семи" Это означает, что сумма двух выпавших чисел равна 7. Все возможные комбинации, дающие сумму 7: \[ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) \] Всего 6 вариантов из 36 исходов. Вероятность: \[ P(N) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \] --- **Шаг 4: Вероятность совместного события \( P(M \cap N) \)** Нам нужно найти вероятность того, что "на второй кости больше двух очков" и "сумма равна 7". Подробно: - Условие М: второй бросок — 3, 4, 5 или 6. - Условие N: сумма равна 7. Рассмотрим все возможные комбинации, дающие сумму 7, и проверим, в каких из них второй бросок > 2: | Первый бросок | Второй бросок | Сумма | Вторая > 2? | Входит ли в M? | |----------------|----------------|--------|--------------|----------------| | 1 | 6 | 7 | Да | Да | | 2 | 5 | 7 | Да | Да | | 3 | 4 | 7 | Да | Да | | 4 | 3 | 7 | Да | Да | | 5 | 2 | 7 | Нет | Нет | | 6 | 1 | 7 | Нет | Нет | Из таблицы видно, что 4 исхода подходят (они и будут совместными исходами \( M \cap N \)): \[ (1,6), (2,5), (3,4), (4,3) \] Общее число всех исходов с sum=7: 6. Количество исходов, совмещающих оба события: \[ 4 \] Вероятность совместного события: \[ P(M \cap N) = \frac{4}{36} = \frac{1}{9} \] --- **Шаг 5: Проверка независимости** Два события \( M \) и \( N \) — независимы, если: \[ P(M \cap N) = P(M) \times P(N) \] Вычислим правую часть: \[ P(M) \times P(N) = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{3} \times \frac{1}{6} = \frac{2}{18} = \frac{1}{9} \] Получаем: \[ P(M \cap N) = \frac{1}{9} \] и \[ P(M) \times P(N) = \frac{1}{9} \] Они равны, значит: **После вычислений можно сделать вывод, что события М и N — независимы.** --- ### Итог: **Да, события "на второй кости выпало больше двух очков" и "сумма равна семи" — независимы.**