1) Материальная точка массой m = 8г совершает гармоническое колебание с периодом 1 с. Начальная фаза колебаний = п/4. Максимальная кинетическая энергия равна 0,04Дж. Вычислите…

Давайте разберём эту задачу по шагам и подробно объясним, как найти амплитуду колебаний материальной точки.

Дано:

• Масса точки \( m = 8\,\textг \) (то есть 8 грамм, или 0,008 кг)
• Период колебаний \( T = 1\, \textс \)
• Начальная фаза \( \varphi = \frac{\pi}{4} \)
• Максимальная кинетическая энергия \( K_{\text{max}} = 0,04\, \textДж \)

Нам нужно найти: амплитуду колебаний \( A \).

Шаг 1. Перевести массу в килограммы

\[ m = 8\, \textг = 0,008\, \textкг \]

Шаг 2. Найти угловую частоту \(\omega\)

Из периода колебаний: \[ T = \frac{2\pi}{\omega} \Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T} \] Подставляем \(T=1\, \textс\): \[ \omega = 2\pi\, \text{рад/с} \approx 6,283\, \textрад/с \]

Шаг 3. Связь между максимальной кинетической энергией и амплитудой

Максимальная кинетическая энергия \(K_{\text{max}}\) достигается, когда скорость максимально. Формула скорости для гармонического колебания: \[ v(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi) \] Максимальная скорость: \[ v_{\text{max}} = A \omega \]

Энергия: \[ K = \frac{1}{2} m v^2 \] Максимальная энергия: \[ K_{\text{max}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2} m (A \omega)^2 \]

Подставим известные значения и выразим \(A\): \[ 0,04 = \frac{1}{2} \times 0,008 \times (A \times 6,283)^2 \]

Шаг 4. Решение уравнения для \(A\)

Перепишем: \[ 0,04 = 0,004 \times (A \times 6,283)^2 \] Делим обе части на 0,004: \[ \frac{0,04}{0,004} = (A \times 6,283)^2 \] \[ 10 = (A \times 6,283)^2 \]

Теперь извлечем корень: \[ A \times 6,283 = \sqrt{10} \approx 3,162 \] \[ A = \frac{3,162}{6,283} \approx 0,503\, \textм \]

Ответ:

Амплитуда колебаний \(A \approx \boxed{0,50\, \textм}\) (округлено до сотых).

Если нужны дополнительные пояснения или расчёты, обращайтесь!