Давайте разберём эту задачу по шагам и подробно объясним, как найти амплитуду колебаний материальной точки.
Дано:
- Масса точки ( m = 8,\textг ) (то есть 8 грамм, или 0,008 кг)
- Период колебаний ( T = 1, \textс )
- Начальная фаза ( \varphi = \frac{\pi}{4} )
- Максимальная кинетическая энергия ( K_{\text{max}} = 0,04, \textДж )
Нам нужно найти: амплитуду колебаний ( A ).
Шаг 1. Перевести массу в килограммы
[
m = 8, \textг = 0,008, \textкг
]
Шаг 2. Найти угловую частоту (\omega)
Из периода колебаний:
[
T = \frac{2\pi}{\omega} \Rightarrow \omega = \frac{2\pi}{T}
]
Подставляем (T=1, \textс):
[
\omega = 2\pi, \text{рад/с} \approx 6,283, \textрад/с
]
Шаг 3. Связь между максимальной кинетической энергией и амплитудой
Максимальная кинетическая энергия (K_{\text{max}}) достигается, когда скорость максимально. Формула скорости для гармонического колебания:
[
v(t) = A\omega \cos(\omega t + \varphi)
]
Максимальная скорость:
[
v_{\text{max}} = A \omega
]
Энергия:
[
K = \frac{1}{2} m v^2
]
Максимальная энергия:
[
K_{\text{max}} = \frac{1}{2} m v_{\text{max}}^2 = \frac{1}{2} m (A \omega)^2
]
Подставим известные значения и выразим (A):
[
0,04 = \frac{1}{2} \times 0,008 \times (A \times 6,283)^2
]
Шаг 4. Решение уравнения для (A)
Перепишем:
[
0,04 = 0,004 \times (A \times 6,283)^2
]
Делим обе части на 0,004:
[
\frac{0,04}{0,004} = (A \times 6,283)^2
]
[
10 = (A \times 6,283)^2
]
Теперь извлечем корень:
[
A \times 6,283 = \sqrt{10} \approx 3,162
]
[
A = \frac{3,162}{6,283} \approx 0,503, \textм
]
Ответ:
Амплитуда колебаний (A \approx \boxed{0,50, \textм}) (округлено до сотых).
Если нужны дополнительные пояснения или расчёты, обращайтесь!
