Дано:
- Заряд двух точечных тел уменьшили в 3 раза: ( q_1' = \frac{q_1}{3} ), ( q_2' = \frac{q_2}{3} )
- Расстояние между ними уменьшили в 3 раза: ( r' = \frac{r}{3} )
Нужно найти, во сколько раз изменится их потенциальная энергия взаимодействия.
Формула потенциальной энергии взаимодействия двух точечных зарядов:
[
U = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{r}
]
где
- ( U ) — потенциальная энергия,
- ( k ) — константа электростатической силы,
- ( q_1, q_2 ) — заряды,
- ( r ) — расстояние между зарядами.
Новый заряд и расстояние:
[
U' = \frac{k \cdot q_1' \cdot q_2'}{r'}
]
Подставим выражения для новых зарядов и расстояния:
[
U' = \frac{k \cdot \left(\frac{q_1}{3}\right) \cdot \left(\frac{q_2}{3}\right)}{\frac{r}{3}}
]
Упростим числитель:
[
q_1' \cdot q_2' = \frac{q_1}{3} \times \frac{q_2}{3} = \frac{q_1 q_2}{9}
]
Подставим в выражение для ( U' ):
[
U' = \frac{k \cdot \frac{q_1 q_2}{9}}{\frac{r}{3}}
]
Разделим числитель и знаменатель:
[
U' = \frac{k \cdot q_1 q_2}{9} \times \frac{3}{r} = \frac{k \cdot q_1 q_2 \times 3}{9 r}
]
[
U' = \frac{k \cdot q_1 q_2}{3 r}
]
Исходная энергия:
[
U = \frac{k \cdot q_1 \cdot q_2}{r}
]
Отношение новых к старым:
[
\frac{U'}{U} = \frac{\frac{k \cdot q_1 q_2}{3 r}}{\frac{k \cdot q_1 q_2}{r}} = \frac{\frac{1}{3} \cdot k \cdot q_1 q_2 / r}{k \cdot q_1 q_2 / r} = \frac{1}{3}
]
Итог:
Потенциальная энергия уменьшилась в 3 раза.
Ответ:
На 3,00 раза (округлено до сотых).
