Шарик массой 0,25 кг прикреплён к горизонтальной пружине. Коэффициент упругости пружины = 2500 Н/м. Определите начальное смещение шарика от положения равновесия, если при…
Шарик массой 0,25 кг прикреплён к горизонтальной пружине. Коэффициент упругости пружины = 2500 Н/м. Определите начальное смещение шарика от положения равновесия, если при колебаниях он проходит это положение со скоростью 4 м/с.
Давайте разберём задачу по шагам.
Дано:
- Масса шарика \( m = 0{,}25\,\text{кг} \)
- Коэффициент упругости пружины \( k = 2500\,\text{Н/м} \)
- Скорость при прохождении положения равновесия \( v = 4\,\text/с \)
Нужно найти начальное смещение шарика от положения равновесия \( x_0 \).
Шаг 1: Определим энергию системы при прохождении положения равновесия
Когда шарик проходит через положение равновесия, его энергия состоит только из кинетической:
\[ E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} m v^2 \]
Подставим значения:
\[ E_{\text{кинетическая}} = \frac{1}{2} \times 0{,}25\,\text{кг} \times (4\,\text{м/с})^2 = 0.125 \times 16 = 2\,\Дж \]
Шаг 2: Определим энергию при начальном смещении \( x_0 \)
На самом деле, в начальный момент времени, когда шарик смещён на расстояние \( x_0 \), он обладает потенциальной энергией пружины и какой-то кинетической энергией (на начальном моменте).
Когда шарик достигает точки, где скорость равна 4 м/с, часть энергии всё ещё есть в кинетической форме, а часть в потенциальной.
Однако, поскольку при прохождении положения равновесия шарик имеет скорость \( v = 4\,\text{м/с} \), и при этом начальное смещение \( x_0 \) вполне вероятно было в положении, где кинетическая энергия максимальна. В системе с гармоническими колебаниями (пружина+масса) энергия полностью переходит из потенциальной в кинетическую и обратно.
Шаг 3: Используем закон сохранения энергии
Общая механическая энергия на любой точке:
\[ E = \text{потенциальная энергия} + \text{кинетическая энергия} \]
На положении, где шарик проходит со скоростью 4 м/с, есть и кинетическая, и потенциальная компоненты:
\[ E = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} k x^2 \]
Но в момент прохождения равновесия потенциальная энергия равна нулю, а полной энергии — только кинетическая:
\[ E = \frac{1}{2} m v^2 = 2\,\text{Дж} \]
При первоначальном смещении \( x_0 \), энергия системы:
\[ E_{нач} = \frac{1}{2} k x_0^2 \]
(Если предположить, что в начальный момент времени шарик был в положении \( x_0 \), и тогда указана скорость — для решения задачи более логично принять, что в начальный момент (большого смещения), скорость была нулевой. Тогда, чтобы попасть в положение, где скорость равна 4 м/с, нужно понять, что энергия в системе при прохождении равновесия составляет 2 Дж. А начальное смещение связано с этой энергией).
Шаг 4: Вывод
По условию, при движении шарика через положение равновесия его скорость равна 4 м/с, а энергия системы в этот момент равна:
\[ E = \frac{1}{2} m v^2 = 2\, \text{Дж} \]
На максимальном смещении \( x_0 \) потенциальная энергия достигает максимума:
\[ E_{пот} = \frac{1}{2} k x_0^2 \]
Поскольку энергия системы сохраняется и при прохождении через равновесие (где потенциальная энергия нулевая), то:
\[ E_{\text{макс}} = E_{пот} = \frac{1}{2} k x_0^2 \]
Это и есть полная энергия при начальном смещении, которая равна сумме кинетической и потенциальной энергии на положении прохождения через равновесие:
\[ E_{общ} = \frac{1}{2} m v^2 + 0 = 2\,\text{Дж} \]
Следовательно,
\[ \frac{1}{2} k x_0^2 = 2\,\text{Дж} \]
откуда выражим \( x_0 \):
\[ x_0 = \sqrt{\frac{2 \times 2}{k}} = \sqrt{\frac{4}{2500}} = \sqrt{0,0016} \approx 0,04\,\text{м} \]
Ответ:
Начальное смещение шарика от положения равновесия составляет примерно 0,04 м (или 4 см).
