Решите б, г
Рассмотрим каждое из заданий по отдельности.
Задача б)
Дано: \[ \frac{70}{x^2 - 16} - \frac{17}{x - 4} = \frac{3x}{x + 4} \]
Шаг 1: упростим выражения и определим общий знаменатель
Обратите внимание:
- \(x^2 - 16 = (x - 4)(x + 4)\).
Значит, для левой части, общий знаменатель — \((x - 4)(x + 4)\).
Аналогично, для второй части, также общий знаменатель — \((x - 4)(x + 4)\).
Шаг 2: Перепишем все дроби с одним знаменателем:
\[ \frac{70}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{17}{x - 4} = \frac{3x}{x + 4} \]
- Первая дробь уже с нужным знаменателем.
- Вторая — умножим numerator и denominator на \(x + 4\):
\[ \frac{17}{x - 4} = \frac{17(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} \]
- Третья — умножим numerator и denominator на \(x - 4\):
\[ \frac{3x}{x + 4} = \frac{3x(x - 4)}{(x + 4)(x - 4)} \]
Шаг 3: запишем уравнение:
\[ \frac{70}{(x - 4)(x + 4)} - \frac{17(x + 4)}{(x - 4)(x + 4)} = \frac{3x(x - 4)}{(x - 4)(x + 4)} \]
Общий знаменатель — \((x - 4)(x + 4)\), переносим всё в числитель:
\[ 70 - 17(x + 4) = 3x(x - 4) \]
Шаг 4: раскроем скобки:
\[ 70 - 17x - 68 = 3x^2 - 12x \]
Преобразуем левую часть: \(70 - 68 = 2\):
\[ 2 - 17x = 3x^2 - 12x \]
Шаг 5: перенесем все в одну сторону:
\[ 3x^2 - 12x + 17x - 2 = 0 \]
\[ 3x^2 + 5x - 2 = 0 \]
Шаг 6: решим квадратное уравнение:
Используем дискриминант:
\[ D = 5^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25 + 24 = 49 \]
Корни:
\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{49}}{2 \cdot 3} = \frac{-5 \pm 7}{6} \]
- Первый корень:
\[ x = \frac{-5 + 7}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
- Второй корень:
\[ x = \frac{-5 - 7}{6} = \frac{-12}{6} = -2 \]
Шаг 7: проверка исключений
Значения, при которых исходное выражение знаменателей не определены:
- \(x \neq 4\),
- \(x \neq -4\).
Наши корни: \(x = \frac{1}{3}\), \(-2\), оба подходят, так как не равны этим запрещённым значениям.
Ответ для б:
\[
x = \frac{1}{3}, \quad x = -2
\]
Задача г)
Дано: \[ \frac{2}{4 - x^2} - \frac{1}{2x - 4} - \frac{7}{2x^2 + 8x} = 0 \]
Шаг 1: упростим знаменатели
Обратим внимание:
- \(4 - x^2 = (2 - x)(2 + x)\).
- \(2x - 4 = 2(x - 2)\).
- \(2x^2 + 8x = 2x(x + 4)\).
Значит, все знаменатели сделаны из множителей:
\[ \frac{2}{(2 - x)(2 + x)} - \frac{1}{2(x - 2)} - \frac{7}{2x(x + 4)} = 0 \]
Обратите внимание, что \((2 - x) = -(x - 2)\). потому:
\[ \frac{2}{-(x - 2)(2 + x)} - \frac{1}{2(x - 2)} - \frac{7}{2x(x + 4)} = 0 \]
Итак:
\[ - \frac{2}{(x - 2)(2 + x)} - \frac{1}{2(x - 2)} - \frac{7}{2x(x + 4)} = 0 \]
Шаг 2: приводим дроби к общему знаменателю
Общий знаменатель:
\[ D = 2x(x - 2)(x + 4) \]
- Первая дробь:
\[ - \frac{2}{(x - 2)(2 + x)} = - \frac{2 \cdot 2x}{2x (x - 2)(x + 4)} = - \frac{4x}{2x (x - 2)(x + 4)} \]
- Вторая:
\[ - \frac{1}{2(x - 2)} = - \frac{x (x + 4)}{2x (x - 2)(x + 4)} \]
- Третья:
\[ - \frac{7}{2x(x + 4)} = - \frac{7 (x - 2)}{2x (x - 2)(x + 4)} \]
Шаг 3: перепишем уравнение:
\[ - \frac{4x}{2x (x - 2)(x + 4)} - \frac{x (x + 4)}{2x (x - 2)(x + 4)} - \frac{7 (x - 2)}{2x (x - 2)(x + 4)} = 0 \]
Все дроби имеют одинаковый знаменатель, переносим в числитель:
\[ -4x - x (x + 4) - 7 (x - 2) = 0 \]
Шаг 4: раскроем скобки:
\[ -4x - (x^2 + 4x) - (7x - 14) = 0 \]
Объединим:
\[ -4x - x^2 - 4x - 7x + 14 = 0 \]
сгруппируем по степеням:
\[ - x^2 + (-4x - 4x - 7x) + 14 = 0 \]
\[ - x^2 - 15x + 14 = 0 \]
или умножим обе части на \(-1\):
\[ x^2 + 15x - 14 = 0 \]
Шаг 5: решим квадратное уравнение:
Дискриминант:
\[ D = 15^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-14) = 225 + 56 = 281 \]
Корни:
\[ x = \frac{-15 \pm \sqrt{281}}{2} \]
Корни иррациональные, примерные значения:
\[ x \approx \frac{-15 \pm 16.76}{2} \]
- Первый корень:
\[ x \approx \frac{-15 + 16.76}{2} = \frac{1.76}{2} \approx 0.88 \]
- Второй корень:
\[ x \approx \frac{-15 - 16.76}{2} = \frac{-31.76}{2} \approx -15.88 \]
Шаг 6: исключения
Проверим, не равны ли полученные корни значениям, делящимся на ноль в исходных выражениях:
- \(x \neq 2\)
- \(x \neq -2\)
- \(x \neq -4\)
- \(x \neq 0\)
Оба корня — около 0.88 и -15.88, они не совпадают с запрещёнными значениями.
Ответ для г:
[ x = \
