Решить

Вот пошаговые решения для каждой задачи по теме "Производная сложной функции". Я поясню, как найти производную каждой функции. --- **Задача 1: Найдите производную функции:** \[f(x) = \sin(3x + 2)\] **Решение:** Используем цепное правило. \(\frac{d}{dx} \sin u = \cos u \cdot \frac{du}{dx}\) Где \(u = 3x + 2\), \(\frac{du}{dx} = 3\). Итак: \[ f'(x) = \cos(3x + 2) \cdot 3 = 3 \cos(3x + 2) \] --- **Задача 2: Найдите производную функции:** \[f(x) = \ln(5x^2 + 1)\] **Решение:** Используем цепное правило для логарифма: \(\frac{d}{dx} \ln v = \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx}\) Где \(v = 5x^2 + 1\), \(\frac{dv}{dx} = 10x\). Итак: \[ f'(x) = \frac{1}{5x^2 + 1} \cdot 10x = \frac{10x}{5x^2 + 1} \] --- **Задача 3: Найдите производную функции:** \[f(x) = e^{2x - 1}\] **Решение:** Производная экспоненциальной функции: \(\frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)\) Здесь \(g(x) = 2x - 1\), \(\Rightarrow g'(x) = 2\). Итак: \[ f'(x) = e^{2x - 1} \cdot 2 = 2 e^{2x - 1} \] --- **Задача 4: Найдите производную функции:** \[f(x) = \cos(x^3)\] **Решение:** Цепное правило для косинуса: \(\frac{d}{dx} \cos u = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}\) Здесь \(u = x^3\), \(\frac{du}{dx} = 3x^2\). Итак: \[ f'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3) \] --- **Задача 5: Найдите производную функции:** \[f(x) = (3x + 4)^5\] **Решение:** Используем цепное правило: \(\frac{d}{dx} [u(x)]^n = n u^{n-1} \cdot u'(x)\) Здесь \(u = 3x + 4\), \(u' = 3\). Итак: \[ f'(x) = 5(3x + 4)^4 \cdot 3 = 15(3x + 4)^4 \] --- **Задача 6: Найдите производную функции:** \[f(x) = (2x^2 + x)^{1/2}\] **Решение:** Вновь цепное правило: \(\frac{d}{dx} [u(x)]^{1/2} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot u'(x)\) Где \(u = 2x^2 + x\). \(\Rightarrow u' = 4x + 1\). Итак: \[ f'(x) = \frac{1}{2} (2x^2 + x)^{-1/2} \cdot (4x + 1) = \frac{4x + 1}{2 \sqrt{2x^2 + x}} \] --- **Задача 7: Найдите производную функции:** \[f(x) = \ln(\cos x)\] **Решение:** Используем цепное правило: \(\frac{d}{dx} \ln v = \frac{1}{v} \cdot v'\) где \(v = \cos x\), \(\Rightarrow v' = -\sin x\). Итак: \[ f'(x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = - \tan x \] --- **Задача 8: Найдите производную функции:** \[f(x) = e^{\sin x}\] **Решение:** Цепное правило: \(\frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)\) \(g(x) = \sin x\), \(g' = \cos x\). Итак: \[ f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x \] --- **Задача 9: Найдите производную функции:** \[f(x) = \tan(4x^2 + 1)\] **Решение:** Цепное правило: \(\frac{d}{dx} \tan u = \sec^2 u \cdot u'\). \(u = 4x^2 + 1\), \(u' = 8x\). Итак: \[ f'(x) = \sec^2(4x^2 + 1) \cdot 8x \] --- **Задача 10: Найдите производную функции:** \[f(x) = \frac{1}{(x^2 + 3x + 2)^2}\] **Решение:** Запишем функцию как степень: \[ f(x) = (x^2 + 3x + 2)^{-2} \] Используем цепное правило: \[ f'(x) = -2 (x^2 + 3x + 2)^{-3} \cdot (2x + 3) \] Или более компактно: \[ f'(x) = - \frac{2 (2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^3} \] --- Если нужно более детальное решение любого из этих пунктов — скажи!