Решить
Вот пошаговые решения для каждой задачи по теме "Производная сложной функции". Я поясню, как найти производную каждой функции.
Задача 1: Найдите производную функции:
\[f(x) = \sin(3x + 2)\]
Решение:
Используем цепное правило.
\(\frac{d}{dx} \sin u = \cos u \cdot \frac{du}{dx}\)
Где \(u = 3x + 2\),
\(\frac{du}{dx} = 3\).
Итак:
\[
f'(x) = \cos(3x + 2) \cdot 3 = 3 \cos(3x + 2)
\]
Задача 2: Найдите производную функции:
\[f(x) = \ln(5x^2 + 1)\]
Решение:
Используем цепное правило для логарифма:
\(\frac{d}{dx} \ln v = \frac{1}{v} \cdot \frac{dv}{dx}\)
Где \(v = 5x^2 + 1\),
\(\frac{dv}{dx} = 10x\).
Итак:
\[
f'(x) = \frac{1}{5x^2 + 1} \cdot 10x = \frac{10x}{5x^2 + 1}
\]
Задача 3: Найдите производную функции:
\[f(x) = e^{2x - 1}\]
Решение:
Производная экспоненциальной функции:
\(\frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)\)
Здесь \(g(x) = 2x - 1\),
\(\Rightarrow g'(x) = 2\).
Итак:
\[
f'(x) = e^{2x - 1} \cdot 2 = 2 e^{2x - 1}
\]
Задача 4: Найдите производную функции:
\[f(x) = \cos(x^3)\]
Решение:
Цепное правило для косинуса:
\(\frac{d}{dx} \cos u = -\sin u \cdot \frac{du}{dx}\)
Здесь \(u = x^3\),
\(\frac{du}{dx} = 3x^2\).
Итак:
\[
f'(x) = -\sin(x^3) \cdot 3x^2 = -3x^2 \sin(x^3)
\]
Задача 5: Найдите производную функции:
\[f(x) = (3x + 4)^5\]
Решение:
Используем цепное правило:
\(\frac{d}{dx} [u(x)]^n = n u^{n-1} \cdot u'(x)\)
Здесь \(u = 3x + 4\),
\(u' = 3\).
Итак:
\[
f'(x) = 5(3x + 4)^4 \cdot 3 = 15(3x + 4)^4
\]
Задача 6: Найдите производную функции:
\[f(x) = (2x^2 + x)^{1/2}\]
Решение:
Вновь цепное правило:
\(\frac{d}{dx} [u(x)]^{1/2} = \frac{1}{2} u^{-1/2} \cdot u'(x)\)
Где \(u = 2x^2 + x\).
\(\Rightarrow u' = 4x + 1\).
Итак:
\[
f'(x) = \frac{1}{2} (2x^2 + x)^{-1/2} \cdot (4x + 1) = \frac{4x + 1}{2 \sqrt{2x^2 + x}}
\]
Задача 7: Найдите производную функции:
\[f(x) = \ln(\cos x)\]
Решение:
Используем цепное правило:
\(\frac{d}{dx} \ln v = \frac{1}{v} \cdot v'\)
где \(v = \cos x\),
\(\Rightarrow v' = -\sin x\).
Итак:
\[
f'(x) = \frac{1}{\cos x} \cdot (-\sin x) = - \tan x
\]
Задача 8: Найдите производную функции:
\[f(x) = e^{\sin x}\]
Решение:
Цепное правило:
\(\frac{d}{dx} e^{g(x)} = e^{g(x)} \cdot g'(x)\)
\(g(x) = \sin x\),
\(g' = \cos x\).
Итак:
\[
f'(x) = e^{\sin x} \cdot \cos x
\]
Задача 9: Найдите производную функции:
\[f(x) = \tan(4x^2 + 1)\]
Решение:
Цепное правило:
\(\frac{d}{dx} \tan u = \sec^2 u \cdot u'\).
\(u = 4x^2 + 1\),
\(u' = 8x\).
Итак:
\[
f'(x) = \sec^2(4x^2 + 1) \cdot 8x
\]
Задача 10: Найдите производную функции:
\[f(x) = \frac{1}{(x^2 + 3x + 2)^2}\]
Решение:
Запишем функцию как степень:
\[
f(x) = (x^2 + 3x + 2)^{-2}
\]
Используем цепное правило:
\[
f'(x) = -2 (x^2 + 3x + 2)^{-3} \cdot (2x + 3)
\]
Или более компактно:
\[
f'(x) = - \frac{2 (2x + 3)}{(x^2 + 3x + 2)^3}
\]
Если нужно более детальное решение любого из этих пунктов — скажи!
